Ўзбекистон республикаси алоқа ахборотлаштириш ва телекоммуникация технологиялари давлат кўмитаси

2. Ikki karrali integral va uning xossalari
Bir o’zgaruvchili funktsiyaning differentsial hisobi tushunchalari va usullarini (YO.U.Soatov Oliy matematika 1-tom, 7-bob) istalgan sondagi o’zgaruvchining funktsiyasi uchun joriy qilish mumkinligi o’rganilgan edi. Integral hisobning asosiy g’oyalarini ham ko’p o’zgaruvchili funktsiyalarga ko’chirish mumkin, bu eng avval integralning aniq turdagi yig’indisining limiti ekanligi g’oyasiga tegishli.
SHuning uchun Oxu tekisligida chiziq bilan (yoki bir necha chiziq bilan) chegaralangan yopiq sohani qaraymiz. Bu sohada uzluksiz funktsiya berilgan bo’lsin. Quyidagi amallarni bajaramiz:
1) sohani har qanday chiziqlar (1-shakl) bilan (xususiy holda bu to’g’ri chiziqlar Ox va Ou o’qlariga parallel bo’lishi mumkin (2-shakl) ta ixtiyoriy qismga bo’lamiz:

bu qismlarni elementar yuzalar deb ataymiz.
2) Har bir yuzachada bittadan nuqta olamiz, natijada n nuqtaga ega bo’lamiz.
, , ,..., ,...,
3) Tanlab olingan nuqtalarda funktsiyaning qiymatlarini hisoblab quyidagiga kelamiz:
, , ..., ,..., .
4) Ushbu ko’rinishdagi ko’paytmani tuzamiz:
5) Bu ko’paytmalardan tuzilgan yig’indi:

1-shakl. 2-shakl.
Bu yig’indiga funktsiyaning sohadagi integral yig’indisi deyiladi. Bu integral yig’indi bir xil n da ( ) sohani qismlarga bo’lish usuliga va har bir qismda nuqtalarni tanlashga ham bog’liq.
SHunday qilib, tayinlangan n da integral yig’indilar ketma-ketligiga ega bo’lamiz. yuzachalar diametrlarining eng kattasi nolga intiladi deb faraz qilamiz (diametr- yuzachalarning bir-biridan eng uzoqlashgan nuqtalari orasidagi masofa). Quyidagi tasdiq o’rinli: