209
умноженных на некоторые коэффициенты (обычно такая сумма носит
название ряд Фурье) [26; 225-226-с.]. Сложность поведения функции при
этом не имеет значения. Если только функция
является периодической и
удовлетворяет необременительным математическим условиям, она может
быть представлена в виде вышеуказанной суммы. Поэтому не удивительно,
что идеи Фурье в этом отношении были встречены скептически. Когда
функция не является периодической (но площадь под ее графиком конечна),
она может быть выражена в виде интеграла от
синусов или косинусов,
умноженных на некоторую весовую функцию.
Для улучшения изображений методы Фурье-анализа дают ясные по
смыслу и практичные способы изучения и реализации совокупности
подходов.
Методы линейной фильтрации, преобразование Фурье обеспечивает
значительную гибкость при разработке и реализации алгоритмов фильтрации
при
решении задач улучшения, восстановления и сжатия изображений.
Преобразование Фурье также лежит в фундаменте великого множества
других важный практических приложений.
Существует несколько видов преобразования Фурье [2; 181-182-с.] .
1. Непериодический непрерывный сигнал можно разложить в интеграл
Фурье.
2. Периодический непрерывный сигнал можно разложить в бесконечный
ряд Фурье.
3. Непериодический дискретный сигнал можно разложить в интеграл
Фурье.
4. Периодический дискретный сигнал можно
разложить в конечный ряд
Фурье.
Компьютер способен работать только с ограниченным объемом данных,
следовательно, реально он способен вычислять только последний вид
преобразования Фурье. Рассмотрим его подробнее.
Пусть дискретный сигнал
x[
n] имеет период
N точек. В этом случае его
можно представить в виде конечного ряда (т.е. линейной комбинации)
дискретных синусоид:
/2
0
2
(n
)
cos
.
N
k
k
k
k
x n
C
N
Эквивалентная запись (каждый косинус раскладываем на синус и
косинус, но теперь – без фазы):
/2
/2
0
0
2
n
2
n
cos
sin
.
N
N
k
k
k
k
k
k
x n
A
B
N
N
Алгоритм обратного преобразования Фурье очевиден (он содержится в
формуле ряда Фурье; для проведения синтеза нужно просто подставить в нее
коэффициенты). Рассмотрим алгоритм
прямого преобразования Фурье, т.е.
нахождения коэффициентов A
k
и B
k
.
210
Система функций
2
n
2
n
sin
,cos
,
0,...,
2
k
k
N
k
N
N
от аргумента
n является
ортогональным базисом в пространстве периодических дискретных сигналов
с периодом
N. Это значит, что для разложения по
ней любого элемента
пространства (сигнала) нужно посчитать скалярные произведения этого
элемента со всеми функциями системы, и полученные коэффициенты
нормировать. Тогда для исходного сигнала будет справедлива формула
разложения по базису с коэффициентами A
k
и B
k
.
Итак, коэффициенты A
k
и B
k
вычисляются как скалярные произведения
(в непрерывном случае – интегралы от произведения функций, в дискретном
случае – суммы от произведения дискретных сигналов):
1
0
2
2
cos
,
1,...,
1,
2
N
k
i
ki
N
A
x i
k
N
ри
N
п
1
0
1
2
cos
,
0,
,
2
N
k
i
ki
A
x i
N
N
при
N
k
1
0
2
2
sin
,
0,...,
.
2
N
k
i
ki
B
x i
N
N
N
k
при
Вычисление преобразований Фурье требует
очень большого числа
умножений (около N
2
) и вычислений синусов. Существует способ выполнить
эти преобразования значительно быстрее: примерно за N⋅log
2
N операций
умножения. Этот способ называется быстрым преобразованием Фурье
(БПФ). Он основан на том, что среди множителей (синусов) есть много
повторяющихся значений (в силу периодичности синуса).
Алгоритм БПФ
группирует слагаемые с одинаковыми множителями, значительно сокращая
число умножений. В результате быстродействие БПФ может в сотни раз
превосходить быстродействие стандартного алгоритма (в зависимости от
N).
Список использованной литературы
1. Березкин Е.Ф. Основы теории информации и кодирования: Учебное пособие. – М.:
НИЯУ МИФИ, 2010. – 312 с.
2. Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы. –2-е изд. перераб.-
М.: Учебно-методический и издательский центр «Учебная литература». 2004.- 252с.
3. Егоров, В.А. Синтез аритмического непрерывно-дискретного регулятора для
линейного объекта [Текст] // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. – Сер. Технические науки. –
№ 3 (31) . - СамГТУ:2011. – с.44-51.;
4. Зиглер К. Методы проектирования программных систем. –М.: Мир, 1995
5. Кириллов С.Н., Поспелов А.В. Дискретные сигналы в радиотехнических системах.
Учебное пособие. Рязань. РГРТА, 2003. 60с.
Do'stlaringiz bilan baham: