Ўзбекистон республикаси ахборот технологиялари ва коммуникацияларини

2. 
Nazarov R., Toshpo’latov B.T. Algebra va sonlar nazariyasi, I qism, – T., 
O’qituvchi, 1993. 
3. 
James Stewart. Calculus. – Brooks/Cole Pablishing Company, 1999 
n
-DARAJALI BIR JINSLI KO‘PHADLAR YORDAMIDA BA’ZI BIR 
TENGLAMALARNI YECHISH 
A.M. Shokirov, Sh.A. Oripov 
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU FF, FarDU 
Agar 


,
f x y
ko‘phadning har bir hadi x  va y  ga nisbatan n –darajali had 
bo‘lsa, 


,
f x y
 ikki o‘zgaruvchili ko‘phad n –darajali bir jinsli ko‘phad deyiladi va 
u quyidagi ko‘rinishga ega 
1
2
2
0
1
2
( , )
....
n
n
n
n
n
f x y
a x
a x
y
a x
y
a y







. 
Masalan, 
4
2
2
2
3
4
( , )
f x y
x
x y
x y
xy
y





ko‘phad 4-darajali ko‘phaddir. 
3
2
2
2
3
( , )
2
9
7
13
f x y
x
x y
xy
x
y





ko‘phad 3-darajali ko‘phaddir. 
Ta’rif. Agar 


,
f x y
ko‘phad n –darajali bir jinsli ko‘phad bo‘lsa, u holda 


,
0
f x y

 tenglama n –darajali bir jinsli tenglama deyiladi. 
Ikki o’zgaruvchili n –darajali va bir jinsli tenglama quyidagicha belgilanadi: 
1
2
2
0
1
2
....
0
n
n
n
n
n
a x
a x
y
a x
y
a y







(1) 
Bu yerda 
0
0
a

, agar 
0
0
a

bo‘lib qolsa, u holda tenglamaning darajasi 
pasayib qoladi. Chunki, tenglamadan u  noma’lumning eng kichik darajasini 
qavsdan tashqariga chiqarib, qavs ichida pastroq darajali bir jinsli ko‘phad hosil 
qilamiz.

---

48 
Masalan, 
7
2
5
4
9
3
5
0
x y
x y
y



9-darajali 
bir 
jinsli 
tenglamada 
2
7
5
2
7
(
3
5
)
0
y x
x y
y



bo’lib, qavs ichida 
7
5
2
7
3
5
x
x y
y


7- darajali bir jinsli 
ko‘phad hosil bo’ladi. 
6
2
5
4
8
3
6
7
0
x y
x y
y



8-darajali bir jinsli tenglamada 
2
6
5
2
6
(3
6
7
)
0
y
x
x y
y



bo’lib, qavs ichida 
6
5
2
6
3
6
7
x
x y
y


6-darajali bir jinsli 
ko‘phad hosil bo’ladi. 
Biz tekshirayotgan (1) tenglama har doim 
0
x

, 
0
y

 yechimga ega, lekin 
0
x

, 
0
y

yoki 
0
x

, 
0
y

ya’ni noma’lumlarning biri nol, ikkinchisi noldan 
farqli bo‘lgan yechimga ega bo‘la olmaydi.
Endi (1) ko’rinishdagi tenglamalarni yechishni ko‘rib chiqamiz. Yuqoridagi 
mulohazalarga asosan 
0
y

demak 
1
2
2
0
1
2
....
0
n
n
n
n
n
a x
a x
y
a x
y
a y







tenglamaning har ikki tomonini 
n
y
ga bo’lamiz va 
x
y
o‘rniga 
t
belgilash 
kiritamiz. Natijada quyidagi
1
2
0
1
2
1
...
0
n
n
n
n
n
a t
a t
a t
a t
a





 


(2)
ko‘rinishdagi bir noma’lumli algebraik tenglamalarni yechishga kelamiz. 
(2) tenglamaning yechimlar soni bilan qiziqamiz. Algebraning asosiy 
teoremasining natijasiga asosan (2) ning yechimlar soni (kompleks ildizlarni hisobga 
olganda) roppa-rosa n  ta ildizi mavjud bo’ladi. 
Bir jinsli tenglamalarning (2) formulasidan foydalanib quyida keltirilgan 
tenglamalarni yechamiz. 
2
2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
0
x a
x a
x
a
a
b
c
x b
x b
x
b



























(3)
ko’rinishdagi tenglama yechilsin. 
Yechish. Bu yerda quyidagicha almashtirish bajaramiz: 
1
1
1
1
x
a
x
a
u
x
b
x
b







(4) 
va 
2
2
0
au
b
cu





ko‘rinishga kelamiz. Tenglamaning ikkala tomonini 
2

ga bo’lib,
2
0
u
u
a
c
b


 
 

 
 
 
 
 
(5) 
ni hosil qilamiz. Bu yerda 
u
t


, 
u
t

 
belgilashlar kiritamiz va 

---

49 
2
0
at
ct
b
  
(6) 
ko’rinishdagi kvadrat tenglamaga kelamiz. Bu tenglamaning yechimlari
2
1,2
4
2
c
c
ab
t
a
 


ekanligi bizga ma’lum.
1
1
1
1
1
(
)(
)
(
)(
)
x
a
x
b
t
x
b
x
a





, 
1
1
2
1
1
(
)(
)
(
)(
)
x
a
x
b
t
x
b
x
a





lardan foydalanib, 
1
2
3
4
,
, ,
x x x x
larni 
aniqlaymiz. 
Ushbu 
2
2
2
2
2
2
4
20
5
48
0
1
1
1
x
x
x
x
x
x



























tenglamani yeching. 
Yechish. Bu yerda 
2
1
x
u
x



va 
2
1
x
x




belgilash kiritamiz. Natijada 
2
2
20
5
48
0
u
u





bir jinsli tenglamani hosil qilamiz. Uni 
2

ga bo‘lib 
2
2
20
5
48
0
u
u


 

ni hosil qilamiz. Bu yerda 
u
t


almashtirish bajarsak, 
2
20
48
5
0
t
t

 
kvadrat tenglama hosil bo‘ladi. Uni yechib 
1
2
5
1
,
2
10
t
t
 

larni 
aniqlaymiz. Dastlabki belgilashimizga qaytsak:
1-hol. 


2
1
5
2
2
5
:
7
9
14
0
0
2
1
1
2
u
x
x
t
x
x
D
x
x



   
  






2-hol. 
2
2
2
2
1
3
2
1
3
11
6
0
10
3
2
10
u
x
x
t
x
x
x
x



 




 


,
1
2
2
3,
3
x
x


  
Javob. 
1
2
2
3
3
x
x


Adabiyotlar: 
1. 
Е.В.Хорошилова, Элементарная математика, – МГУ, 2010 
2. 
Abduhamidov, H.Nasimov, Algebra va analiz asoslari, – Toshkent, 
O‘qituvchi, 2008 

---

50 
ПРИМЕНЕНИЕ СКМ MAPLE ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ 
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 
А.М. Шокиров
Ферганский филиал ТУИТ
В курсе аналитической геометрии рассматриваются такие задачи: 
нахождение длины отрезка, угла между заданными векторами, площади 
треугольника или параллелограмма, построенными на векторах, отложенными 
из одной точки, вычисление объемов призм и пирамид. Вычисление угла 
между векторами базируется на нахождении скалярного произведения 
векторов и их длин, вычисление площадей - на нахождении векторного 
произведения, а вычисление объемов пространственных тел сводится к 
вычислению смешанных произведений трех векторов. Все эти операции 
можно производить с помощью несложных процедур, прописанных в системе 
компьютерной математики Maple. 
Рассмотрим использование процедуры в Maple для решения следующей 
задачи: Даны четыре точки S, A, B, C, заданные своими координатами. 
Вычислить длину высоты пирамиды SABC, опущенной из вершины S. Пусть 
Visota - название нашей процедуры. Введем следующие локальные 
переменные, которые будут использоваться в теле процедуры: Opr - для 
вычисления определителя третьего порядка, каждая строка которого будет 
содержать координаты векторов AS, AC и AB, x - для нахождения абсолютной 
величины переменной Opr, так как объем пирамиды не может выражаться 
отрицательным значением, V - для вычисления объема пирамиды и Plosh - для 
вычисления площади треугольника ABC. Тогда, зная из школьного курса 
геометрии, что объем пирамиды равен 1/3 произведения площади основания 
на высоту, проведенную к нему, можно выразить H = 3V 
S , и записать процедуру вычисления длины высоты в следующем виде: 
> restart; 
> V isota := proc(S, A,B,C)localOpr, x, V, Plosh : 
Opr := (C[1] − A[1]) * (B[2] − A[2]) * (S[3] − A[3]) + (B[1] − A[1]) * (S[2] 
− A[2]) * (C[3] − A[3])+(S[1] − A[1]) * (C[2] − A[2]) * (B[3] − A[3]) − (S[1] − 
A[1]) * (B[2] − A[2]) * (C[3] − A[3])− (C[1] − A[1]) * (S[2] − A[2]) * (B[3] − A[3]) 
− (B[1] − A[1]) * (C[2] − A[2]) * (S[3] − A[3]) : 
x := abs(Opr) : 
V := (1/6) * x : 
Plosh := sqrt(((C[2] − A[2]) * (B[3] − A[3]) − (C[3] − A[3]) * (B[2] − 
A[2]))2+ 
((C[1] − A[1]) * (B[3] − A[3]) − (C[3] − A[3]) * (B[1] − A[1]))2+ 
((C[1] − A[1]) * (B[2] − A[2]) − (C[2] − A[2]) * (B[1] − A[1]))2) : 
H := (3 * V )/Plosh : 
endproc : 
После описания процедуры к ней можно обратиться по имени, задав 
координаты точек S, A,B,C, соблюдая их порядок, в виде: 

---

51 
> V isota({1, 2, 0}, {−2, 3, 5}, {0, 3, 2}, {−1, 4, 3}); 
В данной процедуре выписана формула для нахождения смешанного 
произведения, как определителя третьего порядка, которое используется для 
нахождения объема пирамиды, и формула для вычисления векторного 
произведения, а также длины полученного вектора, что позволяет вычислить 
площадь основания пирамиды. Таким образом, для решения задач по 
аналитической геометрии удобно использовать процедуры, прописанные с 
СКМ Maple, что позволяет вычислять десятки подобных задач.