|
(
5.8)
u
=
Aω
cos (
ωt
+ φ
0
) (5.9)
a
= –
Aω
2
cos (
ωt
+ φ
0
) =
=
Aω
2
cos [(
ωt
+ φ
0
) +
p
]
(5.10)
Рис. 5.2.
Образец решения задачи.
Точка совершает гармоническое колебательное движение. Мак-
симальное смещение и скорость соответственно равны 0,05 м и 0,12 м/с.
Найдите максимальное ускорение и скорость колебательного движения, а
также ускорение точки в момент, когда смещение равно 0,03 м.
81
Д а н о :
Ф о р м у л а и р е ш е н и е :
A
= 0,05 м
u
мax
= 0,12 м/c
x
=
A
sin(
ωt
+ φ),
a
A
max
max
=
υ
2
;
υ υ
υ
=
−
( )
=
−
max
max
1
2
2
2
x
A
A
A
x
u
=
ωA
cos
ωt
;
a
= –
ω
2
A
sin
ωt= –
ω
2
x
;
a
=
−
=−
υ
max
( ,
)
( ,
)
2
2
2
2
0 12
0 05
2
A
x
M
c
· 0,03 = –(7,3 · 10
–2
м/c
2
)
a
max
(
)
=
=
⋅
⋅
−
−
12
10
5 10
2
4
2
2
M
c
29 · 10
–2
м/c
2
;
υ=
=
−
≈
⋅
−
0 12
0 05
0 05
0 03
9 6 10
2
2
2
2
,
,
( ,
,
)
,
M
M
c
c
M
.
Найти:
a
мax
– ?
u
– ?
a
– ?
1. Какое движение называется периодическим движением?
Приведите примеры периодического движения из повседневной
жизни и техники.
2. Напишите уравнение гармонического колебания.
3. Что называется смещением, амплитудой, периодом, частотой
гармонического колебания?
Тема 23.
ПРУЖИННЫЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МАЯТНИКИ
Рис. 5.3.
k
F
упр
m
g
x
0
Тело
или
система
тел,
совершающие
периодические колебательные движения, называются
маятниками
. Большинство колебательных движений,
встречающихся в природе, напоминают движение
пружинных и математических маятников.
Система, состоящая из груза массой
М
,
подвешенного на пружине с упругостью
k
, называется
пружинным маятником (рис. 5.3). Под тяжестью
подвешенного груза пружина растягивается на
расстояние
x
о
. Условие ее равновесия определяется
выражением:
ma
= –
kx
0
(5.11)
82
Если немножко растянуть пружину и отпустить, то груз придет в
колебательное движение в вертикальном направлении.
С помощью опытов мы определили, что смещение груза в зависимости
от времени изменяется следующbм образом:
x
=
A
sin(
ω
0
t
+ φ
0
)
Если учесть, что ускорение тела, совершающего гармонические колебания
a
= –
ω
0
2
x,
то уравнение (5.10) примет вид:
−
+
=
ω
0
2
0
x
x
k
m
.
Из этого уравнения мы имеем:
ω
0
=
k
m
(5.12)
Значит, частота циклического колебания тела, совершающего
гармоническое колебание, зависит от параметров тел, входящих
в систему колебания. Формула (5.12) называется формулой для
определения циклической (периодической) частоты пружинного маятника
T
v
v
= =
=
1
2
2
2
0
π
π
π
ω
.
T
k
m
m
k
=
=
=
2
2
0
2
π
ω
π
π
,
T
m
k
=
2
π
.
(5.13)
Период колебания пружинного маятника прямо пропорционален
выведенному из-под квадратного корня значению массы груза и обратно
пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению
упругости пружины.
Рассмотрим обмен энергиями в пружинном маятнике. Кинетическая
энергия маятника, если не учитывать массу пружины, равна кинетической
энергии груза,
E
m
K
=
υ
2
2
. В предыдущих темах было показано, что
скорость можно выразить формулой
u
=
Aω
0
cos(
ω
0
t
+ φ
0
). В таком случае
кинетическая энергия маятника равна
E
mA
t
K
=
+
1
2
2
0
2
2
0
0
ω
ω
ϕ
cos (
)
(5.14)
83
Потенциальная энергия пружинного маятника равна энергии
деформации пружины, т.е.:
E
п
=
=
+
kx
kA
t
2
2
2
0
0
2
1
2
sin (
)
ω
ϕ
.
(5.15)
В большинстве случаев важно знать полную энергию системы:
Е
общ
=
Е
к
+
Е
п
=
1
2
mA
2
ω
0
2
cos
2
(ω
0
t
+ φ
0
) +
1
2
kA
2
sin
2
(ω
0
t
+ φ
0
)
Если учесть, что
ω
0
2
=
k
m
,
Е
общ
=
1
2
kA
2
[cos
2
(
ω
0
t
+ φ
0
) + sin
2
(
ω
0
t
+ φ
0
)]
(5.16)
Е
общ
=
1
2
kA
2
= const
(5.17)
Обратите внимание, что полная энергия пружинного маятника является
постоянной величиной, не зависящей от времени, т.е. соблюдается
выполнение закона сохранения механической энергии.
Материальная точка, подвешенная на нерастяжимой и невесомой
нити и совершающая периодическое колебательное движение вокруг
равновесного состояния, называется математическим маятником.
Когда маятник находится в устойчивом равновесном состоянии,
вес материальной точки (
P
=
mg
) уравновешивает силу натяжения
Т
(рис. 5.4), так как их модули равны и направлены по одной линии в
противоположные стороны. Если наклонить маятник на угол α, силы
mg
и
T
не смогут уравновесить друг друга из-за взаимного расположения под
углом. В результате сложения таких сил появится
возвращающая сила,
которая вернет маятник в равновесное состояние. Если отпустить маятник,
то под воздействием возвращающей силы он
начинает двигаться в сторону равновесного
состояния.
Из рис. 5.4. видим, что:
F
возвр.
=
P
sin
α
=
mg
· sin
α
(5.18)
Согласно второму закону Ньютона, сила
F
придает материальной точке ускорение
а
,
поэтому
–
mg
sin
α
=
ma
.
(5.19)
Рис. 5.4.
y
l
m
F
возвр
T
м
g
x
O
α
α
84
Из-за того, что угол наклона очень маленький (
α
≤ 6° ÷ 8°), а сила
F
направлена противоположно смещению, формулу (5.19) можно записать в
виде
ma
≈ –
mg
·
x
l
(5.20)
Если смещение материальной точки (шарика) во время колебательного
процесса отметить буквой
x
и учитывать соотношение
a
= –
ω
0
2
x,
получим
–
mω
0
2
x
=
mg
x
l
.
Следовательно
ω
0
=
g
l
.
(5.21)
Исходя из смысла периода колебания и учитывая, что
T
v
v
= =
=
1
2
2
2
0
π
π
π
ω
получаем
T
l
g
=
=
2
0
2
π
ω
π
.
(5.22)
Эта формула, определяющая период колебания математического
маятника, называется
формулой Гюйгенса
. Отсюда вытекают следующие
законы математического маятника:
1) при маленьких углах наклона (
а
) математического маятника, его
период колебания не зависит от амплитуды колебания.
2) период колебания математического маятника также не зависит от
массы подвешенного на него груза;
3) период колебания математического маятника прямо пропорционален
выведенному из-под квадратного корня значению длины маятника и
обратно пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению
ускорения свободного падения.
Отсюда колебание математического маятника записывается следующим
выражением:
x
=
A
sin(
ω
0
t
+ φ
0
).
Следует отметить, что когда амплитуда колебания или угол наклона
велики, колебания математического маятника не являются гармоническим.
В этом случае нельзя считать sin
α ≈
x
l
и для решения уравнения движения
не применяется закон синусов или косинусов.
Do'stlaringiz bilan baham: |
