Заключение Список использованных источников

3. Метод функций Грина и другие методы

Средства MAPLE позволяют использовать и другие методы решения уравнений. Рассмотрим процедуру построения формальных решений неоднородных уравнений параболического типа методом функций Грина.

Основными этапами построения решения этим методом являются:
) ввод неоднородного уравнения;
) ввод представления для решения уравнения в виде ряда Фурье;
) разложение функций в ряд Фурье;
) определение коэффициентов разложения;
) подстановка разложений функций в исходное уравнение;
) представление решения в виде суммы решений однородного и неоднородного уравнений;
) учет НУ, определение коэффициентов и вывод решения однородного уравнения;
) построение функции Грина;
) вывод решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения с помощью функции Грина;
) вывод решения уравнения.
Для неоднородных уравнений представим функциональные алгоритмы построения решений задачи о теплопроводности.
Функциональный алгоритм формального решения неоднородного уравнения параболического типа методом функций Грина:
. Ввод неоднородного уравнения
:=diff(u(t,x),t)=a^2*diff(u(t,x),x,x)+w(t,x);

. Ввод представления для решения уравнения в виде ряда Фурье

u(t,x):=Sum(u[n](t)*sin(Pi*n* x/L),n=1..infinity);

. Разложение функций в ряд Фурье

(t,x):=Sum(w[n](t)*sin(Pi*n*x/ L),n=1..infinity);(x):=Sum(F[n]*sin(Pi*n*x/L),n=1..infinity);

. Определение коэффициентов разложения

[n](t)=(2/L)*int(w(t,xi)*sin(Pi*n*xi/l), xi=0..L);[n]=(2/L)*int(F(xi)*sin(Pi*n* xi/L),xi=0..L);

5. Подстановка разложений функций u(t,x) и w(t,x) в исходное уравнение PDE;

. Представление решения в виде суммы решений однородного и неоднородного уравнений
[n](t)=u_Un[n](t)+u_Nu[n](t): u_Un[n](t):=_C1*exp(-a^2*Pi^2*n^2/L^2*t): u_Nu[n](t):=(Int(w[n](tau)*exp(a^2*Pi^2*n^2/L^2*(tau-t)),tau)):

7. Учет начальных условий, определение коэффициентов и вывод решения однородного уравнения

_0:=subs(t=0,u(t,x))=F(x): u[n](0)=F[n];(subs(t=0,u_Un[n](t)))= F[n];

. Построение функции Грина

(x,xi,t,tau):=Sum(2/L*exp(-a^2*Pi^2*n^2/L^2*(ttau))*
*sin(Pi*n*xi/L)*sin(Pi*n*x/L),n=1..infinity);

. Вывод решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения с помощью функции Грина

_Un(t,x):=Sum(u_Un[n](t)*sin(Pi*n*x/L),n=1..infinity);_Nu(t,x):=int(int(G(x,xi,t,tau)*w(tau,xi),xi=0..L),tau=0..t);
10. Вывод решения исходного неоднородного уравнения
u(t,x):=u_Un(t,x)+u_Nu(t,x);

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Листинг программы на Maple 13

> restart;
Решить неоднородное уравнение

с неоднородностью

> w(tau,xi):=mu*(x-L/2)*sin(x/7)*t*exp(-alpha*t);

и однородными начальными условиями.

Функция Грина (функция источника):

> G(x,xi,t,tau):=sum(2/L*exp(-a^2*Pi^2*n^2/L^2*(t-tau))*sin(Pi*n*xi/L)*sin(Pi*n*x/L),n = 1 .. infinity);

Решение уравнения:

> u(t,x):=simplify(sum(int(2/L*exp(-a^2*Pi^2*n^2/L^2*(t-tau))*int(mu*(x-L/2)*sin(x/7)*t*exp(-alpha*t)*sin(Pi*n*xi/L),xi = 0 .. L),tau = 0 .. t)*sin(Pi*n*x/L),n = 1 .. infinity)) assuming n::integer;

> a:=0.1;L:=100;mu:=1; alpha:=0.25;(t,x):=sum(-mu*sin(1/7*x)*t*L^2*(-2*x+2*x*(-1)^n+L-L*(-1)^n)*(-1+exp(a^2*Pi^2*n^2/L^2*t))/a^2/Pi^3/n^3*exp(-t*(a^2*Pi^2*n^2+alpha*L^2)/L^2)*sin(Pi*n*x/L),n = 1 .. 300):(t,x):=mu*(x-L/2)*sin(x/7)*t*exp(-alpha*t);

Представим полученные решения в виде двумерных анимированных графиков:

> with(plots):(plot,[w(t,x),x=0..L, color=blue],t=0..40,frames=20,thickness=3);(plot,[u(t,x),x=0..L],t=0..40,frames=20,thickness=3);, the name changecoords has been redefined