Определение необходимого коэффициента передачи всей системы и предварительного усилителя в зависимости от заданной точности
Необходимый коэффициент передачи системы Kнеоб для данного вида структурной схемы определяется по формуле
. (1)
Подставляя числовые данные в (1), получим
Коэффициент передачи усилительного элемента определяется по формуле
. (2)
Подставляя числовые данные в (2), получим K1= 5.
Определение передаточных функций системы и анализ устойчивости на основе частотного критерия устойчивости
Передаточная функция разомкнутой исходной системы равна
. (3)
Передаточная функция замкнутой исходной системы определяется по формуле
где K= K 1K 2K 3K 4
Для анализа устойчивости исходной системы строится амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) разомкнутой системы. При ручном расчете АФХ рекомендуемая схема последовательности действий следующая:
(5)
Задаваясь значениями , строится АФХ, и по ней определяется устойчивость замкнутой системы. Для данной системы имеем
(6)
Задаваясь от 0 до на основе (6) построим АФХ (рис.1).
Таблица - 1
Частота, ω
|
2,5
|
3
|
3,5
|
4
|
4,5
|
5
|
6
|
|
-33,1
|
-27,57
|
-22,26
|
-18,37
|
-14,86
|
-11,59
|
-6,93
|
|
-18,32
|
-9,81
|
-3,12
|
0,44
|
2,57
|
3,71
|
4,31
|
Частота, ω
|
6,5
|
7
|
7,5
|
8
|
8,5
|
9
|
10
|
|
-5,15
|
-3,85
|
-2,91
|
-2,24
|
-1,76
|
-1,42
|
-0,53
|
|
4,17
|
3,9
|
3,57
|
3,21
|
2,86
|
2,53
|
1,96
|
Рис.1. АФХ исходной системы.
Из рисунка видно, что Wp(j) охватывает точку (-1, j0), поэтому исходная замкнутая система неустойчива согласно частотному критерию Найквиста.
Построение логарифмических частотных
характеристик исходной системы
Исходная система состоит из последовательно соединенных типовых динамических звеньев. Построение ЛАЧХ исходной разомкнутой системы Lисх() выполняется следующим образом: через точку с координатами =1 и 20 дб проводим прямую с наклоном -20 дб/дек до первой сопрягающей частоты =1/0,2=5 Далее – с 3 до =1/0,15=6,66, L() имеет наклон -40 дб/дек , а начиная с 2 наклон -60 дб/дек. Далее – с 2 до =1/0,1=10, а начиная с 1 наклон -80 дб/дек.
ЛФЧХ системы строится суммированием отдельных звеньев, т.е.
(7)
Задаваясь различными значениями по формуле (7) рассчитываем (рис.2)
Таблица - 2
Значения ЛФЧХ
Частота, ω
|
0,10
|
0,16
|
0,25
|
0,40
|
0,63
|
1,00
|
1,58
|
, град
|
-92,97
|
- 94,76
|
- 97,44
|
- 101,8
|
- 108,6
|
- 119,48
|
- 135,9
|
Частота, ω
|
2,51
|
3,98
|
6,31
|
10,00
|
15,85
|
25,12
|
39,81
|
, град
|
- 160,39
|
- 193,43
|
- 232,04
|
- 269,2
|
- 299,3
|
- 320,7
|
- 334,92
|
Частота, ω
|
63,10
|
100,00
|
158,49
|
251,19
|
398,11
|
630,96
|
1000
|
, град
|
- 344,1
|
- 349,9
|
- 353,6
|
- 355,9
|
- 357,4
|
- 358,4
|
- 358,9
|
Согласно логарифмическому критерию устойчивости исходная замкнутая система неустойчива, т.к. . Этот вывод подтверждает правильность вывода, полученного ранее на основе критерия устойчивости Найквиста (рис.2).
Построение желаемой ЛАЧХ и ЛФЧХ системы
Желаемая логарифмическая характеристика разомкнутой системы строится на основе требований, предъявляемых к проектируемой системе: требуемый коэффициент усиления, порядок астатизма системы, допустимое время переходного процесса, допустимая величина перегруппирования.
Низкочастотная часть амплитудной характеристики определяется коэффициентом усиления системы в разомкнутом состоянии и порядком ее астатизма. Частотный интервал низкочастотной части характеристики лежит в пределах от минимальных начальных частот до частоты первого сопряжения аппроксимированной характеристики. Наклон начального низкочастотного отрезка характеристики величиной -20 дб/дек где - порядок астатизма системы.
Указанный начальный отрезок характеристики должен переходить через точку c ординатой, равной 20lgK и абсциссой =1, где K - требуемый коэффициент усиления системы, т.е. эта часть должна совпадать с низкочастотной частью исходной системы, для упрочнения корректирующих средств.
Среднечастотная часть амплитудной характеристики является наиболее существенной частью характеристики, так как ее вид определяет в основном качество переходного процесса системы.
При частоте среза наклон cp определяется требуемым временем переходного процесса и допустимым перерегулированием: , где коэффициент выбирается в зависимости от допустимой величины перерегулирования (рис.3).
Рис.3. Зависимость L2 и a0 от . Рис.4. Зависимость запасов L и от .
Среднечастотный участок желаемой ЛАЧХ проводится влево и вправо до достижения модулей равных L1, L2. Выбирается L1 и L2 в зависимости от допустимого перерегулирования (рис.3). L1 соответствует 2ж, а L2 соответствует 3ж. В этом случае следует иметь в виду, что чем больше величины интервалов 2ж – ср.ж и ср.ж - 3ж , тем меньше перерегулирование. Поэтому окончательный выбор этих интервалов должен быть согласован с требованием к переходному процессу.
Сопряжение центрального отрезка ЛАЧХ с низкочастотной частью производится прямой с наклоном –40 дб/дек –60 дб/дек.
При построении желаемой ЛАЧХ желательно, чтобы она как можно меньше отличалась от исходной ЛАЧХ. Это необходимо для упрощения корректирующих средств. При формировании желаемой ЛАХ можно увеличить, если это необходимо для совпадения асимптот, запасы по модулю L1 и |-L2 |т.к. такое увеличение только повысит качество системы.
Рекомендуемая схема последовательности построения желаемой ЛЧХ системы:
.
На основе этих рекомендаций построим Lж(). Через точку проводим прямую с наклоном -20дб/дек. Частоты 2ж и 3ж определим на основе L1 и L2 (при =26% из графика L= 14 дб). Построение остальных частей Lж( ) показано на рис. 2.
По виду Lж( ) запишем передаточную функцию Wж(р)
(8)
; ; ;
ЛФЧХ желаемой системы вычисляется по формуле:
(9)
Значения ЛФЧХ таблица - 3
Частота, ω
|
0,10
|
0,16
|
0,25
|
0,40
|
0,63
|
1,00
|
1,58
|
, град
|
-96,08
|
-100,06
|
-105,39
|
-113,08
|
-121,33
|
-128,23
|
131,49
|
Частота, ω
|
2,51
|
3,98
|
6,31
|
10,00
|
15,85
|
25,12
|
39,81
|
, град
|
-128,71
|
-122,63
|
-115,73
|
-111,49
|
-111,3
|
-115,08
|
-122,15
|
Частота, ω
|
63,10
|
100,00
|
158,49
|
251,19
|
398,11
|
630,96
|
1000,00
|
, град
|
-133,24
|
-145,92
|
-156,55
|
-164,98
|
-170,69
|
-173,15
|
-176,02
|
построенная на основе формулы (9) приведена на рис.2. По Lж() и определяем запас по амплитуде L и запас по фазе . Эти запасы достаточны для обеспечения %, т.к. по графикам (рис. 4) для обеспечения % необходимо L и %.
. Выбор корректирующего устройства при параллельной
коррекции с помощью ЛЧХ
Для обеспечения требуемых динамических показателей к системе применяются следующие виды коррекции: последовательная; параллельная; смешанная. Каждая из этих видов коррекции имеет недостатки и достоинства [9].
Порядок выполнения расчета при параллельной коррекции:
Строится ЛАЧХ исходной системы Lисх().
По техническим требованиям, предъявляемым к проектируемой системе и переходному процессу в ней, строится ЛАЧХ желаемой системы Lж().
По известным ЛАЧХ строятся соответствующие им логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ).
Вычитанием ЛАЧХ желаемой системы из ЛАЧХ исходной системы получают суммарную ЛАЧХ корректирующего устройства и звеньев, охваченных этим корректирующим устройством, т.е. находят Lос()+ Lохв().
Намечают место включения корректирующего устройства, после чего определяют Lохв().
Вычитая из суммарной ЛАЧХ, ЛАЧХ соответствующую характеристике охваченного звеньев Lохв(), определяют ЛАЧХ корректирующего устройства
. (9)
По найденной ЛАЧХ корректирующего устройства находят наиболее простое его техническое исполнение.
При последовательной коррекции вместо пунктов 4, 5, 6 вычитаем ЛАЧХ исходной системы из ЛАЧХ желаемой системы определяется ЛАЧХ корректирующего элемента, т.е.
Lк( )= Lж( ) – Lисх( ) – Lохв(). (10)
Применение параллельной или последовательной коррекции зависит от свойств исходной системы и требований к ней. В некоторых случаях поставленная задача решается с помощью смешанной коррекцию
Для данного примера осуществляем параллельную коррекцию. Параллельным корректирующим элементом охватываем звено с передаточной функцией
. (11)
Выполняя пункты 1-7, находим ЛАЧХ и схему корректирующего элемента, пользуясь таблицами корректирующих звеньев постоянного тока. При выборе необходимо стремиться к реализации Lk( ) одним звеном.
В данном случае передаточная функция корректирующего устройства имеет вид
(12) Это корректирующее устройство реализуется последовательно соединенными двумя пассивными типовыми корректирующими звеньями: реальным дифференцирующим и реальным интегрирующим (рис. 5).
Рис.5. Реальные интегрирующие и дифференцирующие корректирующие цепочки.
Р асчет резисторов и конденсаторов осуществляется на основе формул, приведенных в таблицах с использованием числовых данных Т1ж= 1,28с, Т2= 0,15с, =0,21 , Т3ж= 0,014с.
здесь T1ж=1,28 c;
T2=0,15;
Т1ж=R1C1 ;
G0=K=R2/(R1+R2)=T1/T1ж
С1=1 мкФ, R1=1,28МОм
R2=170 kОм
Т3ж=R4C2
C2=0,45 мкФ
R4=31 kОм;
R3=435 kOм
При необходимости (когда число неизвестных больше чем число уравнений) задаются параметрами отдельных элементов. При расчете необходимо уделить внимание согласованию входных и выходных сопротивлений звеньев. Для этого необходимо выполнение условия (в 10 15 раз) или между корректирующими элементами включаются согласующие устройства.
В тех случаях, когда выбранный тип корректирующего устройства отличается от расчетного, определяется передаточная функция скорректированной системы с включенным корректирующим устройством. В рассматриваемом примере Wскор(p)=Wж(p), поэтому в дальнейшем используется Wж(p). Структурная схема скорректированной системы приведена на рис.6.
Do'stlaringiz bilan baham: |