Yuzalarni integral yordamida hisoblash

YUZALARNI INTEGRAL YORDAMIDA HISOBLASH
1-misol. у=4х-х², х=3, у=0 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblang. (1-chizma).

1-chizma.
Yechish. (42.1) formuladan foydalanib topamiz.

2-misol. у=х²-3х, у=0 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblang (151-chizma).


1-chizma. 2-chizma.
Yechish. (42.2) formulaga binoan topamiz:

3-misol. 0≤х≤2π bo’lganda у=cosx kosinusoida va 0х o’q bilan chegaralangan figuraning yuzi topilsin (152-chizma).
Yechish. da , da da cosx≥0 ekanligini hisoblaga olib (42.2) formulaga asoslanib topamiz.

4-misol. parobalalar bilan chegaralangan figuraning yuzi hisoblansin (1-chizma).

1-chizma.
Yechish. Integrallash chegaralari а va b ni hamda tenglamalarni birgalikda yechib, ularning kesishish nuqtalari N va M nuqtalarni abssissalarini aniqlash orqali topiladi.

Demak, а=-2, b=2. (42.3) formulaga binoan topamiz:

. (42.5)
Bu esa parametrik ko’rinishdagi tenglamalari yordamitda berilgan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini hisoblash formulasidir.
5-misol. x=acos³t, y=asin³t astroida (1-chizma) bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblang.
Yechish. t uchun integrallash chegaralarini x=acos³t tenglamadan topamiz:
х=0 da acos³t=0 cost=0, t= ,
х=а da acos³t=a cost=0, t=1
Astroidani koordinata o’qlariga nisbatan simmetrikligini hisobga olsak 155-chizmadagi shtrixlangan yuz izlanayotgan yuzning to’rtdan birini tashkil etadi. Shuning uchun (42.5) formulaga binoan astroida bilan chegaralangan figura yuzining to’rtdan biri uchun quyidagiga ega bo’lamiz.

Bundan
6-misol. Dekart yaprog’i sirtmogining yuzini hisoblang (1-chizma)



1-chizma.
Yechish.
Koordinatalar boshida egri chiziq o’zini o’zi kesadi, ya‘ni koordinatalar boshi egri chiziqning maxsus (qaytish)nuqtasidir. Egri chiziq bu nuqtadan t=0 da va t=∞ bo’lganda o’tadi, ya‘ni integrallash chegaralari 0 va ∞ ga teng. Shuning uchun: