Yuqori tartibli hosila va differensiallar

Hosila va differensialni hisoblash qoidalari

Reja:

1. 
   Hosila va differensialni hisoblash qoidalari Yuqori tartibli hosila va differensiallar
   
2. 
   Differensiallanuvchi funksiya uchun o`rta qiymat haqida teoremalar. Teylor formulasi. Lopital qoidasi
   

Yuqori tartibli hosila va differensiallar
1. Differensiallanuvchi funksiyalar haqida teoremalar. Elemen-tar funksiyalar hosilalari jadvali

Limitlar haqida teoremalar kabi, differensiallanuvchi funksiyalar haqida ham teoremalar mavjud.

u(x) va v(x) funksiyalar x nuqtada differensiallanuvchi bo`lib, k biror-bir o`zgarmas son bo`lsa, u holda x nuqtada

a) u(x) + v(x); b) k u(x); c) u(x) ·  v(x); d)

funksiyalar ham differensiallanuvchi bo`ladi va quyidagilar o`rinli :

1) [u(x) + v(x)]  = u(x) + v(x); d[u(x) + v(x)] = du(x) + dv(x).

2) [k u(x)]  = k u(x); d[k u(x)] = k du(x).

3) [u(x) · v(x)] = u(x) · v(x) + u(x) · v(x);

d[u(x) · v(x)] = u(x) · dv(x) + v(x) · du(x).
4) ;

, ( v(x) ≠0).
Funksiya hosilasini hisoblashda differensiallash qoidalaridan tash-qari, elementar funksiyalar hosilalari jadvalidan ham foydalaniladi.

f (x)	f(x)		f (x)	f(x)
C (o`zgarmas)	0		sin x	cos x
x^p	x^p-1		cos x	-sin x
			tg x
a^x	a^xlna		ctg x
f (x)	f(x)		f (x)	f(x)
e^x	e^x		arcsin x
loga |x|			arccos x
			arctg x
ln |x|			arcctg x

Misollar. Differensiallash qoidalari va hosilalar jadvalidan foydala-nib, quyidagi funksiyalar hosilalarini hisoblang:

1. . 2. .

1.

.

2.

2. Murakkab funksiya hosilasi va differensiali

y = f (u) va u = g(x) funksiyalarning superpozitsiyasidan iborat y = f [g(x)] murakkab funksiya berilgan bo`lsin.

Agar u = g(x) funksiya x₀ nuqtada differensiallanuvchi, o`z navbati-da y = f (u) funksiya u<sub>0</sub> = g(x<sub>0</sub>) nuqtada differensiallanuvchi bo`lsa, u holda y = f [g(x)] murakkab funksiya ham x₀ nuqtada differensiallanuv-chi bo`ladi va yoki y(x₀) = f (u₀) · g(x₀).

Murakkab funksiyaning erkli o`zgaruvchi bo`yicha hosilasi, shu funksiyani tashkil etgan (superpozitsiyalanuvchi) funksiya hosilalarining ko`paytmasiga teng.

Murakkab funksiya differensiali uchun dy = y(x₀) · dx =  f (u₀) · du tengliklar o`rinli, bu yerda du = g(x<sub>0</sub>) · dx. Murakkab funksiya birinchi tartibli differensialini hisoblash uchun uning biror o`zgaruvchi bo`yicha hosilasini shu o`zgaruvchining differensialiga ko`paytirish yetarli. Bun-da differensialni hisoblash shakli o`zgarishsiz qolib, o`zgaruvchilarning tanlanilishiga yoki ularning erkli yoki erksizligiga bog`liq emas.Ushbu xossa birinchi tartibli differensial shaklining invariantlik xossasi deyiladi.

Misol.

1.  funksiyaning birinchi tartibli hosilasi va differensialini hisoblaymiz:

2. y = x^sin x (x > 0) funksiya hosilasini hisoblash uchun, dastlab tenglikning ikkala tomonini logarifmlaymiz va so`ngra hosila olamiz:

(lny) = (sin x · lnx) <=> .

Natijada, .

3. Yuqori tartibli hosilalar va differensiallar

y = f(x) funksiya uchun birinchi tartibli hosila y aniqlangan bo`lsin. Funksiyaning ikkinchi tartibli y hosilasi u dan olinadigan hosila (agar uning mavjudlik sharti bajarilsa) sifatida aniqlanadi: y = (y).

Yuqoridagi mulohazani davom ettirib, funksiyaning uchinchi, to`r-tinchi va hokazo, ixtiyoriy n – tartibli hosilalarini aniqlash mumkin. Yuqori tartibli hosilalarni yozishda quyidagi belgilar qo`llaniladi:

f ⁽ⁿ⁾(x),  y_xxx,  y^V,  y,  .

Shunday qilib, y = (y), y⁽⁴⁾ = (y), . . . , y⁽ⁿ⁾  = (y^{(n -1)}).

Yuqori tartibli hosilalarni hisoblashda, birinchi tartibli hosilani hisoblash qoidalari kabi qoidalar qo`llaniladi. Masalan, y = sin²x funk-siya uchun y =  (sin²x) =  2sin x(sinx) =  2sin x cos x = sin2x, y = (sin 2x)=  = 2cos2x, y = (2cos2x) = - 4sin2x va hokazo.

Quyida keltirilgan ba`zi funksiyalarning yuqori n – tartibli hosila-lari uchun tegishli formulalarni olish va ularni jadval holida yig`ish mumkin:

f (x)	f ^(n)(x)
x^p	p(p-1)(p-2)…(p-n+1)x^p-n
e^x	e^x
e^kx	k^ne^kx
Lnx
sin kx	k^n sin(kx+ )
cos kx	k^n sin(kx+ )

y = f (x) funksiyaning yuqori tartibli differensiallari ham ketma – ket ravishda, mos hosilalari kabi aniqlanadi:

d²y = d(dy) – ikkinchi tartibli differensial;

d³y = d(d²y) – uchinchi tartibli differensial;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dⁿy = d(d^{n -1}y) - n-tartibli differensial.

Agar y = f (u) funksiya berilgan bo`lib, u erkli o`zgaruvchi yoki x ning chiziqli u = kx + b funksiyasidan iborat bo`lsa, u holda:

d²y = y(du)², d³y = y⁽³⁾(du)³, . . . , dⁿy = y⁽ⁿ⁾(du)ⁿ.

Agarda y = f (x) funksiyada u = g(x) ≠ kx + b bo`lsa, u holda yuqori tartibli differensiallar uchun invariantlik xossasi o`rinli bo`lmaydi, chunki d²y = f (u) · (du)² + f (u) · d²u va hokazo.

4. Teskari funksiya hosilalari

y = f (x) funksiya (a; b) intervalda differensiallanuvchi bo`lib, shu intervalda uzluksiz x = g(y) teskari funksiyaga ega va y(x) ≠ 0 bo`lsin. U holda, x = g(y) teskari funksiya ham differensiallanuvchi bo`lib, tenglik o`rinli bo`ladi.

Oxirgi tenglikni u bo`yicha differensiallaymiz va y<sub>xx</sub> mavjud bo`lsa,

Differensiallashni davom etib, teskari funksiyaning istalgan tartibli hosilasini aniqlash mumkin.

Masalan, y = e^x (y > 0) funksiya uchun x = lny teskari funksiyadir.

Uning hosilasi .

Differensiallanuvchi funksiya uchun o`rta qiymat haqida teoremalar. Teylor formulasi. Lopital qoidasi
1. Differensiallanuvchi funksiya uchun o`rta qiymat haqida Roll va Lagranj teoremalari

Differensiallanuvchi funksiyalar uchun o`rta qiymat haqidagi teoremalar nomini olgan tasdiqlardan asosiylari bilan tanishamiz.

Roll teoremasi: y = f (x) funksiya [a; b] kesmada aniqlangan va uz-luksiz bo`lsin. Agar funksiya (a; b) intervalda differensiallanuvchi bo`lib, f (a) = f (b) tenglik o`rinli bo`lsa, u holda (a; b) intervalga tegishli hech bo`l-maganda bitta shunday bir s nuqta topiladiki, f (c) = 0 bo`ladi.

Teoremani geometrik izohlaydigan bo`lsak, teorema shartlari bajarilganda, y = f (x) funksiya grafigi AB yoyga tegishli hech bo`lmagan-da bitta (1-rasmda ikkita D va E) nuqta topiladiki, chiziqning shu nuq-tasiga o`tkazilgan urinma 0x abssissalar o`qiga parallel bo`ladi. Teo-remaning har bir sharti ahamiyatlidir, chunki ulardan biri bajarilmasa, (a; b) intervalda f (c) = 0 tenglikni qanoatlantiruvchi s nuqta topilmasli-gi mumkin. Masalan, 2-rasmda grafigi keltirilgan funksiya uchun uzluk-sizlik sharti bajarilmagan, a₁ nuqta uning uzilish nuqtasi.

3-rasmda tasvirlangan funksiya uchun esa uning differensiallanuv-chanlik sharti bajarilmagan, a₂ nuqtada funksiya hosilaga ega emas. Egri chiziqlarga tegishli va (a; b) interval doirasida urinmalari 0x o`qiga pa-rallel bo`ladigan biror-bir nuqta mavjud emas.

Lagranj teoremasi: y = f (x) funksiya [a; b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo`lib, (a; b) intervalda differensiallanuvchi bo`lsa, u holda (a; b) intervalga tegishli kamida bitta s nuqta topiladiki, f (b) – f (a) = f (c) · (b–a) munosabat o`rinli bo`ladi.

1 - rasm. 2 - rasm. 3 - rasm.
Lagranj teoremasida Roll teoremasidagidek, funksiyaning [a; b] kes-maning chetki nuqtalarida teng qiymatlarga erishishi talab qilinmaydi. Teoremadan xususiy f (a) = f (b) holda, f (c) = 0 ekanligi kelib chiqadi, shu ma`noda Lagranj teoremasi Roll teoremasining umumlashmasi hi-soblanadi.

Teoremani geometrik izohlaydigan bo`lsak, uning har bir sharti o`rinli bo`lganda, y = f (x) funksiya grafigi AB yoyga tegishli hech bo`l-maganda bitta (4-rasmda ikkita D va E) nuqta topiladiki, chiziqning shu nuqtasiga o`tkazilgan urinma AB vatarga parallel bo`ladi.

4-rasm.
Agar b = a + Δx almashtirish kiritsak, c nuqtani c = a + θ(b –a) = = a + θΔx (θ є (0; 1) ) ko`rinishda ifodalash mumkin. Almashtirishlar e`tiborga olinsa, Lagranj formulasi f (a + Δx) – f (a) = f (a + θΔx)Δx shaklda yoziladi va Lagranjning chekli orttirmalar formulasi deyiladi.

2. Teylor - Makloren formulalari va ularning qo`llanilishi.

y = f (x) funksiya x = a nuqtaning biror atrofida aniqlangan va shu atrofda f (x), f (x), …, f ⁽ⁿ⁾(x), f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x) hosilalarga ega bo`lsa, u holda atrofga tegishli har bir x uchun Teylor formulasi

,

tengligi o`rinli bo`ladi, bu yerda - Teylor formulasining Lagranj shaklidagi qoldiq hadi deb yuritiladi.

Agar x = a + Δx almashtirish kiritsak, Teylor formulasi

( θ є (0; 1) ) Lagranjning umumlashma chekli orttirmalar formulasi deb ataladigan ko`rinishini oladi.

Agar Teylor formulasida a = 0 bo`lsa, ushbu

( θ є (0; 1) )

Makloren formulasi deb ataladigan formulani olamiz.

Teylor - Makloren formulalari funksiyalarni ko`phad shaklida ifodalashda, funksiyalarning taqribiy qiymatlarini hisoblashda, funksiyalarni tekshirish va limitlarni aniqlashda qo`llaniladi.

Masalan, x = 0 nuqta atrofidagi har bir x uchun quyidagilar o`rinli:

1) ;
2) ;
3) ;

4) ;

5) .

3. Aniqmasliklarni ochish Lopital qoidasi

Lopital qoidasi: a nuqtaning biror atrofida differensiallanuvchi, nuqta-ning o`zida differensiallanuvchi bo`lishi shart bo`lmagan f (x) va g(x) funksiyalar uchun, shu atrofda g(x) ≠ 0 va yoki yoki shartlar o`rinli bo`lib, limit mavjud bo`lsa, u holda ham mavjud bo`ladi va tenglik o`rinli.

Yuqoridagi qoida a ni ∞ bilan almashtirilgan hol uchun ham o`rinli.

Lopital qoidasi yoki ko`rinishidagi aniqmasliklarni ochishda qo`llaniladi. Agar nisbat x = a nuqtada yoki ko`rinishidagi aniqmasliklardan iborat bo`lsa, u holda qoida nisbatga qo`llaniladi va jarayon aniqmaslik ochilmaguncha davom ettiriladi.

Algebraik almashtirishlar yordamida (0 · ∞) yoki (∞ - ∞) ko`rinish-dagi aniqmasliklar yoki aniqmasliklarning biriga keltiriladi, so`ng-ra Lopital qoidasi qo`llanilib, aniqmasliklar ochiladi.

Dastlab logarifmlash yo`li bilan esa (1<sup>∞</sup>), (∞<sup>0</sup>), (0<sup>0</sup>) ko`rinishdagi aniqmasliklar yoki aniqmasliklarga keltiriladi.

Misollar. Lopital qoidasini qo`llab, limitlarni toping:

1. .
2. .