Yopishma tekislik ta‘rifi. Yopishma tekislikning mavjudligi xaqidagi teorema



Download 22,29 Kb.
bet2/2
Sana31.12.2021
Hajmi22,29 Kb.
#251098
1   2
Bog'liq
A‘rifi. Yopishma tekislikning mavjudligi xaqidagi teorema

Ta‘rif. Agar Q nuqta egri chiziq bo`ylab Р nuqtaga intilganda /d2 nisbat nolga intilsa  tekislikni  egri chiziqning Р nuqtasidagi yopishma tekisligi deyiladi.
TEOREMA. Ikki marta differentsiallanuvchi  egri chiziq o`zining xar bir nuqtasida yopishma tekislikka ega. Bunda yopishma tekislik yoki yagonadir yoki urinma orqali o`tuvchi xar bir tekislik yopishma tekislikdan iborat. Агар r=r(t)  egri chiziqning vektor tenglamasidan iborat bo`lsa, yopishma tekislik r'(t) va r"(t) vektorlarga perpendikulyardir.

ISBOT. Faraz qilaylik  tekislik  egri chiziqning parametrning t qiymatiga mos kelgan Р nuqtasidagi yopishma tekislikdan iborat bo`lsin.

Yopishma tekislikning birlik normal vektorini n orqali belgilaymiz. U xolda oldingi mavzulardagi kabi muloxazalar yuritib quyidagilarni olamiz, ya‘ni

d=|r(t+t)-r(t)|, =|n(r(t+t)-r(t))|

Shartga asosan  yopishma tekislik bo`lgani uchun QР da (/d2)0 bo`ladi. Ma‘lumki, Q nuqta Р nuqtaga intilsa t 0 ga intiladi. Aytilganlar asosida quyidagilarga ega bo`lamiz:

Q nuqta Р nuqtaga intilganda 10, 20 bo`ladi va oxirgidan nr'(t)=0, nr"(t)=0 kelib chiqadi. Bu tengliklardan nr', nr" ekani yoki r' va r" vektorlarning yopishma tekislikka parallelligi kelib chiqadi.

Yopishma tekislikning xar doim mavjudligi osongina ishonch xosil kilish mumkin. Buning uchun r'(t) ва r"(t) vektorlarga parallel bo`lgan  tekislikni olamiz. U xolda nr'(t)=0, nr"(t)=0 bo`lib, Q nuqta Р nuqtaga intilganda kelib chiqadi.

Shunday qilib, egri chiziqning xar bir nuqtasida yopishma tekislik mavjud bo`lib, agar r'(t) ва r"(t) vektorlar kollinear bo`lsa yoki r"(t)=0 bo`lsa, urinma orkali o`tuvchi xar bir tekislik yopishma tekislikdan iboratdir.

Endi  egri chiziqning Р(x0,y0,z0) nuqtasidagi yopishma tekislik tenglamasini tuzamiz. Aytaylik А(x,y,z) nuqta yopishma tekislikning o`zgaruvchi nuqtasi bo`lsin. U xolda uchta РА, r' ва r" vektorlar o`zaro komplanardir. Vektorlarning komplanarlik shartiga asosan (РА, r',r")=0 bo`ladi.

Oxirgi tenglikni koordinatalarda yozsak,



bo`ladi.


Bu yopishma tekislik tenglamasidir.

Ma‘lumki, urinish nuqtasi orqali o`tib, urinmaga perpendikulyar bo`lgan xar bir to`g`ri chiziqning normali deyiladi. Agar yopishma tekislik yagona bo`lsa, bu normallar orasida ikkitasi ajralib turadi. Ulardan birinchisi yopishma tekislikda yotuvchi normal bo`lib, uni egri chiziqning bosh normali deyiladi. Ikkinchisi esa, yopishma tekislikka perpendikulyar bo`lgan normal bo`lib, uni egri chiziqning binormali deyiladi.

Endi binormalning tenglamasini tuzamiz. r' ва r" vektorlar chiziqning М0­ nuqtasidagi yopishma tekislikda yotadi. Shuning uchun В0=[r',r"] vektor binormal bo`ylab yo`nalgandir. Agar binormal ustida ixtiyoriy М(x,y,z) nuqtani olsak, vektor В0 vektor bilan kollinear bo`ladi, yani =В0. Bunda В0 vektorning yoyilmasi:

В­0=(y'z"-y'z')i+(z'x"-z"x')j+(x'y"-x"y')k



ning yoyilmasi esa

=(X-x)i+(Y-y)j+(Z-z)k.

Shu sababli binormalning koordinata shaklidagi tenglamalari



va vektor shakldagi tenglamasi: R-r=[r'r"].

Agar B=[r'r"] vektorni r' vektor bilan ko`paytirsak, В va r' ga tik vektor xosil bo`ladi. Bu vektor chiziqning bosh normali bo`ylab yo`nalgandir. Uni N bilan belgilaymiz:N=[[r'r"]r']. Ikki qaytali vektor ko`paytmani yoyish formulasiga asosan:

N=[[r'r"]r']=r"r'2-r'(r'r").

Jumladan, chiziqning М0 nuqtasidagi bosh normal vektori N0=[[r'0r"0]r'0] bo`ladi. Uning yoyilmasi

N0=[[r'0r"0]r'0]=r"0r'20 - r'0(r'0r"0).

Bosh normal vektorining to`g`ri burchakli koordinata sistemasidagi yoyilmasi qisqacha N=i+j+k bo`lsin. Bu xolda to`g`irlovchi tekislikning tenglamasi

(X-x)+(Y-y)+(Z-z)=0

ko`rinishni oladi, chunki to`g`irlovchi tekislik М0 nuqtadan o`tib, N0 vektorga perpendikulyar bo`ladi.

Chiziqning М0 nuqtasidagi bosh normali N0 vektor bo`ylab yo`nalgandir. Uning tenglamasini yozish uchun bosh normalda ixtiyoriy М nuqtani olamiz. Natijada М0М ва N0 vektorlar o`zaro kollinear bo`ladi. М0М=N0. Agar N0 ning yoyilmasi N0=0i+0j+0k shaklda olinsa, bosh normalning tenglamalarini



ko`rinishda yozish mumkin.



Adabiyotlar


  1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.,Наука,1990.

  2. Нарманов А.Я. Дифференциал геометрия. Т. Университет, 2003

  3. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.,1974.

  4. Нарманов А.Я. ва бошқалар. Умумий топологиядан машқ ва масалалар тўплами. Т.Университет, 1996.

  5. Сборник задач по дифференциальной геометрии. Под ред. Феденко А.С. М., 1979.

Download 22,29 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish