Yolg'on guruhlari Ta'rif

Yolg'on guruhlari Ta'rif 11.1.1. Lie guruhi silliq guruh tuzilishi bilan ta'minlangan G ko'p qirrali, ya'ni ko'paytirish va inversiya silliq xaritalardir: u:Gx G G. (g, h) g h. :G G, g+g-1. G ning Lie kichik guruhi H CG kichik guruhi bo'lib, suvga botgan submanifold hisoblanadi. Misollar 11.1.2. (1) Har bir eng ko‘p sanaladigan guruh (0-o‘lchovli Li guruhi. (2) qo‘shimcha guruh (R". +) n-o‘lchovli Li guruhidir. (3) Ko‘paytirish guruhi (C*,-) 2 o'lchovli Li guruhi. Quyida 1 o'lchovli R'CC" va S' CC" kichik guruhlari mavjud. (4) Umumiy chiziqli guruh. R" ning chiziqli avtomorfizmlarining GL(n) guruhi n o'lchovli Liedir. Guruhning silliq tuzilishi R" dan R" gacha bo'lgan chiziqli xaritalarning n2 o'lchovli M (n) vektor fazosida GL(n) ni ochiq kichik to'plam sifatida ko'rib chiqishdan kelib chiqadi (5) Maxsus chiziqli guruh. SL(n) guruhi. GL(n) ning kichik guruhi R" ning chiziqli avtomorfizmlaridan iborat bo'lib, ular 1 determinantga ega. (6) Ortogonal guruh. Ortogonal matritsalarning O(n) guruhi (ya'ni A € M(n) AA' = 1) n(n 1)/2 o'lchamli ixcham Li guruhidir (6.11-mashqga qarang) (7) Yuqoridagi guruhlarning murakkab versiyalari mavjud: GL(n, C) inversiyali kompleks matritsalar guruhi, determinanti 1 bo'lgan matizmlardan tashkil topgan SL(n, C) kichik guruhi bilan; O(n, C) kompleks matritsalar guruhi AA' = I ni qanoatlantiradigan ces. (8) Li guruhlarning G x ... x G mahsuloti Li guruhidir. Xususan, k-torus T := s' x ... x S' k o'lchamli ixcham Li guruhidir. (9) Agar G har qanday Li guruhi bo'lsa, u holda G° C G bilan belgilangan identifikatsiyaning bog'langan komponenti Li kichik guruhidir (u ochiq va yopiq). Aslida, G° oddiy kichik guruhdir. (10) GL(n)° guruhi musbat determinantga ega matritsalardan iborat. (11) Maxsus ortogonal guruh Li guruhi SO(n) := 0(n)". (12) Agar G Lie guruhi bo'lsa, TG Lie guruhidir. Uning tuzilish xaritalari differensialdir. G.ning tuzilish xaritalari %3D
Ta'rif 11.1.3. ge G tomonidan chap tarjimasi G dg ning diffeomorfizmi: G G, X, (h) := gh. G e G bilan o'ngga o'tish G Pg ning diffeomorfizmidir: G G. Po(h) := hg. Chap tarjimalar yordamida quyidagilar olinadi: Taklif 11.1.4. Har bir Li guruhi parallelizatsiya qilinadigan manifolddir. Isbot. Chap tarjimalardan foydalanib, biz TGda global ramka quramiz: OL : TG T,G, 04(X):= d,A,-1(X), X€ T,G. Xulosa 8.4.3 ga ko'ra, eL1 ning mavjudligi G parallelizatsiya qilinishini bildiradi. Ta'rif 11.1.5. G yolg'on guruhi bo'lsin. X E X(G) vektor maydoni chap o'zgarmas deyiladi, agar X A bo'lsa, - X bilan bog'liq bo'lsa, barcha g E G uchun. Chap o'zgarmas vektor maydonlar bo'shlig'ini XL(G) bilan belgilaymiz. Xuddi shunday, XR(G) to'g'ri invariant vektor maydonlarining fazosi aniqlanadi. X € X(G) ning invariant qolishi sharti aniq tarzda yozilishi mumkin: da A,(X,) = Xph barcha g,h e G uchun. h = e ga ruxsat berilsa, bu formula X uning qiymati bilan aniqlanishini bildiradi. identifikatsiyada: X, = daA,(Xe): Aksincha, ve T.G ning chap invariant kengaytmasi vektor maydoni: e x(G), vf= de do(v). O'zgarmas bo'lib qolgan zanjir qoidasi quyidagicha bo'ladi: d, A(u) = d,A, o d. A (v) = d.(A, o An)() = d.Agh(v) = v- %3D Biz quyidagi xulosaga kelamiz: 11.1.6-taklif. (1) Quyidagi xarita chiziqli izomorfizmdir: XL(G) T.G, X+ Xe, teskari v+ bilan. (2) Agar X.Y E XL (G), u holda [X. Y] eXL(G). Isbot. (1) qism yuqorida muhokama qilindi; (2) qism Lemma 9.3.3 dan kelib chiqadi. Ta'rif 11.1.7. Li algebrasi vektor fazosi g amal bilan ta'minlangan: Li qavs deb ataladi, u (1) qiyshaygan-simmetrikdir: [u, v] = -lv, u), u, vE g, (2) R- bilinear [u, av + bu] = aļu, e] + blu, w), a,be R. u, v, u € g. %3D (3) va Yakobi identifikatorini qondiradi: [u., lv, wl] + [v. [uw, u]] + [w, [u, v]] = 0, u, v, w E g. %3D I xaritasi 6 G ning chap Maurer-Karta shakli deb ataladi.
Ta'rif 11.1.8. Li G guruhining Li algebrasi vektor fazosi 9:= T.G uith Li qavs: gxg+g. [v, w] := [u, w']e. 9.2.1 taklifiga ko'ra, (g, ) Li algebrasining ariomlarini haqiqatan ham qondiradi. Izohlar 11.1.9. (1) G Lie guruhining g Lie algebrasi G ning «chiziqlilashtirilgan versiyasi» rolini o‘ynaydi; u G haqidagi cheksiz kichik ma'lumotlarni kodlaydi. Aslida, agar G oddiygina bog'langan bo'lsa, u g ning tuzilishidan Lie guruhi sifatida to'liq tiklanishi mumkin (masalan, [2] ga qarang). (2) Umuman Lie guruhlari katta lotin harflari bilan belgilanadi: G, H, K, L, P, Q va boshqalar, tegishli Li algebralari esa mos keladigan kichik Fraktur harflari (shuningdek, gotika harflari deb ataladi) bilan belgilanadi: g , h, e, 1, p, q va boshqalar (LaTeX da \mathfrak{..} dan foydalaning). (3) G ning Li algebrasini to'g'ri invariant vektor maydonlari yordamida ham aniqlash mumkin; shunga qaramay, izomorf ob'ektni oladi. Inversiya xaritasi bo'ylab oldinga surish chap o'zgarmas va o'ng invariant vektor maydonlari o'rtasida izomorfizm beradi. Ammo shuni yodda tutingki, agar ikkala Li algebrasi T.G bilan aniqlansa (e da veetor maydonlarini baholash orqali), T,G da qarama-qarshi Li qavslari olinadi, chunki e da inversiya xaritasining differensialligi -Idr,G ga teng. Taklif 11.1.10. Chapdagi o'zgarmas vektor maydonlari to'liq. Bundan tashqari, x (gh) = gok (h), hamma uchun X e Xi(G), 9,he G, teR. Isbot. X € XL(G) va g, h e G bo'lsin. 10-ma'ruzada bo'lgani kabi In, h dan boshlanadigan oqim chizig'i aniqlanadigan maksimal intervalni belgilaymiz. Te In uchun bizda quyidagilar mavjud: d (gok (h)) = dag (n) d, (h) = deg (n)(Xo tn) = Xger (h) %3D %3D bu yerda X o‘zgarmas qoldirilganidan foydalandik. . Bu shuni ko'rsatadiki, In at+ gok (h) X ning integral egri chizig'i. Egri chiziq gh dan boshlanganligi sababli, Lemma 10.1.2 bo'yicha, biz C Iyhda va gos (h) = (gh) degan xulosaga kelamiz. Xususan, I, Cl, barcha ge G uchun va shuning uchun Lemma 10.2.2 tomonidan X to'liqdir. Yuqoridagi taklif bizga quyidagilarni aniqlash imkonini beradi: Ta'rif 11.1.11. Li guruhi G urith Lie algebrasining eksponensial xaritasi g xaritasi: exp : g+ G, U+o(e). 11.1-mashq sizga eksponentsial xarita haqiqatan ham silliq ekanligini isbotlash uchun yordam beradi. Aslida, eksponensial xarita 0 atrofida mahalliy diffeomorfizmdir. 11.1.12-taklif. Eksponensial xarita exp : g+ G qanoatlantiradi: do exp = Idg. %3! Bu erda biz Tog = g = T.G ni aniqlaymiz. Demak, exp bu g dagi 0 ga yaqinlik va G dagi e ga yaqinlik orasidagi diffeomorfizmdir.Isbot. Natija 10.2-mashqning o (9) = t (9) formulasidan kelib chiqadi: d do exp(v) = de lemo exp(ee) = lem(e) = loe le) = = v. 3D %3D de le =0 Keyin, biz Li guruhlari va Li algebralari orasidagi xaritalarni muhokama qilamiz. Ta'rif 11.1.13. (1) Lie guruhi omomorfizmi silliq guruh homomorfizmi F: (G.) (H.-). (2) Li algebralarining gomomorfizmi f chiziqli xaritadir: (9.1, 1) - (h. [,1) f(lu, v) = [f(u), f(v)) ni qanoatlantiradi, barcha u uchun. , v g. Lie guruhi gomomorfizmlari Li algebra gomomorfizmlarini keltirib chiqaradi: 11.1.14-taklif. (G.-) va (H.) tegishli Li algebralari (g. f, -1) va (h, f, -1) boʻlgan ikkita Li guruhi boʻlsin. Lie guruhining omomorfizmini ko'rib chiqing: F: (G.) - (H,). F(e) = e bo'lgani uchun, aniqlang: f:= d,F:g = T.G h = T, H. U holda f Lie algebralarining gomomorfizmidir va quyidagi diagramma o'zgaradi: H exp 1.e. F(exp(v)) = exp(f(v)) allv g uchun. Isbot. v € g uchun, biz v va f (v) ning F bilan bog'liqligini ko'rsatamiz. F Lie guruhi gomomorfizmi bo‘lgani uchun bizda Fo A, = Apig) o F. Shuning uchun d„F(v) = d,F o d, d, (v) = de(Fo A,)(v) = d ,(APto) o F)(v) = = de AFia) a de F(v) = de APS(v)) = f(v)F)- %3! Demak, har qanday w E g uchun. w va f(w) ham F bilan bog'liq va shuning uchun Lemma 9.3.3 bo'yicha [v", w] F- [f(v)", f(w)] bilan bog'liq. Ushbu o'ziga xoslikni birlikda baholash f ning Li algebrasi gomomorfizmi ekanligini bildiradi: S(e). f(w)] = [f(e). (u)]. = d,F(l, ) = f(lv, w). Nihoyat, yana v ning f(v) ga F-bog'liqligi va 10.1-mashqdan foydalanib, biz diagrammaning kommutativligini olamiz: F(exp(v)) = F((e)) = i (F(e)) = exp(f(v).11.2. Mashqlar 11.1-mashq. G Lie algebrasi g bo'lgan Li guruhi bo'lsin. v g vektorning chap invariant kengaytmasini o e XL(G) bilan belgilang. (a) Quyidagi formula G x g da silliq vektor maydonini belgilashini ko'rsating: EE X(G x g), Masalan) = (v,0) € T,G Teg = Tg) (G x g). (b) E ning oqimi (9, v) = ((g), v) bilan berilganligini isbotlang. va bu to'liq deb xulosa qiling. (c) eksponensial xarita exp : g+ G silliq ekanligini isbotlash uchun (b) dan foydalaning. 11.2-mashq. Chapdagi o‘zgarmas vektor maydonlari o‘ng o‘zgarmas vektor maydonlari bilan o‘tishini isbotlang: XE XL(G), Y €XR(G) = X,Y] = 0. 11.3-mashq. k 21 uchun k o'lchamli torusni T* bilan belgilang, ya'ni T* = (s')* = {(21...., 4) E Ck : 21|=...= | = 1). %3D (a) k-torusdagi chap oʻzgarmas vektor maydonlari oʻng oʻzgarmas vektor maydonlari bilan bir xil ekanligini isbotlang: XL(T*) = XR(T”).Bundan tashqari, agar 8 boʻlsa, ichsk “burchak koordinatalarini” bildiradi. T* (8.5.5-misolga qarang), quyidagi X (T*) ning asosi ekanligini isbotlang: € X(T*).(b) Eksponensial xaritani hisoblang: exp : T,T* T*. Maslahat: T,T uchun (a) dan asosdan foydalaning. (c) A = {a € Z}i> 0 bo'lgan ochiq sharni belgilaymiz. Oldingi bandlardan foydalanib, quyidagini isbotlang. eksponensial xarita exp :g + G: (i) exp B va G\{-1} orasidagi diffeomorfizm; (ii) exp 2kr radiusli sharlarni 1 e G ga, (2k + 1)r radiusli sharlarni -1 EG ga yuboradi; (iii) ekspluatatsiya B+1)= \Ber va G\{1, -1} orasidagi diffeomorfizm bilan cheklanadi. (k) G dagi chap o‘zgarmas vektor maydonining har bir oqim chizig‘i aylana ekanligini ko‘rsating.