Yashiklar prinsipi

Mavzu

Muqimjonova D.

Dirixle prinsipi

Dirixle prinsipi, "yashiklar prinsipi" — (ya+1) elementdan iborat boʻlgan toʻplam p ta sinfga ajratilganda sinflarning kamida bittasida elementlar soni 2 tadan kam boʻlmaydi, degan tasdiq. P. Dirixle nomi bilan ataladi. D. p., odatda, oʻnta yashikka oʻn bitta quyonni bittadan joylab boʻlmaydi, degan sodda misol bilan tushuntiriladi. Shuning uchun u "yashiklar prinsipi" deb ham ataladi. D. p. sodda ifodalansa ham, sonlar nazariyasi, kombinatorika va mat.ning boshqa boʻlimlarida muhim teoremalarni isbotlashga asos boʻladi. Garmonik funksiyalar nazariyasida ham D. p. deb ataluvchi teorema bor.

Dirixle prinsipi

Buyuk nemis matematiki Peter Gustav Lejen Dirixle 1805-1859 yillarda yashab ijod

qilgan. Ushbu maqolada chekli toʻplamlarning asosiy xossasini ifodalovchi, uning nomi bilan

ataladigan prinsip – Dirixle prinsipi haqida bayon qilingan. Bulardan tashqari Dirixle prinsipi

yordamida bir nechta masalalar yechib berilgan va oʻquvchiga mustaqil yechish uchun

masalalar tavsiya etilgan. Biz bu prinsipni toʻplamlar tilida emas, oddiy tushuntirishga harakat

qilamiz“n ta qafasda n tadan ortiq quyon joylashgan boʻlsa, u holda qaysidir qafasda

bittadan ortiq quyon joylashadi”.

Bu prinsipning qoʻllanish koʻlami judayam kengligi bilan ahamiyatlidir. Uning yordamida

ham mantiqiy ham matematik masalalar yechiladi. Bir qaraganda Dirixle prinsipi juda soddaga

oʻxshab tuyuladi, lekin uni qoʻllab masalalar yechish oson ish emas. Buning uchun masala

shartini boʻlaklarga ajratib olish kabi koʻnikmalar talab etiladi.

Endi Dirixle prinsipi yordamida yechiladigan ayrim masalalarni koʻrib chiqamiz.

1 – masala. Kamida nechta natural son olinsa, ular orasida ayirmasi 5 ga boʻlinadigan

ikkitasi topiladi?

Yechilishi. Ixtiyoriy tanlab olingan natural sonni 5 ga boʻlganda u 5 ga qoldiqsiz

boʻlinadi yoki quyidagi qoldiqlardan bittasi qoladi; 1, 2, 3, 4. Shuning uchun 5 ta natural sonni

tanlab olganda biz uchun eng “noqulay”i ularning qoldiqlari turlicha boʻlgani, ya’ni 5 ga

boʻlganda 0, 1, 2, 3, 4 qoldiq qolganlari boʻladi. Shuning uchun bu holda ular orasida ayirmasi

5 ga qoldiqsiz boʻlinadigan juftlik topilmaydi. Demak 6 ta son olish kerak, chunki oltinchi

sonni 5 ga boʻlganda yuqoridagi qoldiqlardan biri hosil boʻladi. Masala yechildi.

2 – masala. 25 ta qutida uch turdagi konfet berilgan (har bir qutida faqat bir turdagi

konfet berilgan). Ular orasida albatta bir xil turdagi 9 ta quti topilishini isbotlang.

Yechilishi. 24 ta qutini 3 ta yashikka turlari boʻyicha joylashtiraylik. Biz uchun eng

“noqulay” boʻlgan hol bu har bir yashikda 8 ta qutichaning joylashgani boʻladi. Biroq bizda

yana bitta quti bor. Biz bu qutini yuqoridagi yashiklardan biriga joylashtiramiz va unda 9 ta

konfet solingan quti boʻlib qoladi. Masala yechildi.

3 – masala. Stol ustida aralashtirilgan holda 3 ta juft qoʻngʻir va 2 ta juft qora

qoʻlqoplar berilgan. Qorongʻi sharoitda kamida nechta qoʻlqopni olganda bir juft bir xil

rangdagi qoʻlqoplar hosil boʻladi?

Yechilishi. Bir xil rangdagi bir juft qoʻlqopni qanday tanlab olish mumkin?

1) Qorongʻi sharoitda qoʻlqoplar rangini aniqlab boʻlmaydi, lekin qoʻlqoplarni “oʻng

yoki chap” qoʻlga ekanini aniqlash mumkin. Shu usulda oldin bitta juftlikni (chap va oʻng

qoʻlga) tanlaymiz, keyin 3 ta qoʻlqopni bitta qoʻlga, shunday qilib jami 5 ta qoʻlqopni

tanlaymiz.

2) Agar qoʻlqoplarni tanlashga ruxsat berilmasa, har safar kamida eng “noqulay” holda

6 ta qoʻlqopni olish kerak boʻladi.

Haqiqatan, 5 ta ixtiyoriy tanlab olingan qoʻlqoplar bitta qoʻlga mos kelsa, u holda

oltinchi tanlab olingan qoʻlqop boshqa qoʻlga mos keladi va bir juft bir xil rangdagi qoʻlqoplar

albatta topiladi. 3 ta dastlabki olingan qoʻlqoplar - qoʻngʻir va bitta qoʻlniki, keyingi ikkitasi -

qora va boshqa qoʻlga mos boʻlgan holat ham yuz berishi mumkin. Bu holda oltinchi tanlab

olingan qoʻlqop yuqorida tanlanganlardan birining rangida boʻladi.

4 – masala. 4 7 

katakli jadvalni barcha satrlarida va barcha ustunlarida boʻyalgan

kataklar soni har boʻladigan qilib boʻyab chiqich mumkinmi?

Yechilishi. Boʻyalgan kataklar soni 0 dan 7 gacha oʻzgarishi mumkin, ya’ni jami 8 ta

variant bor. Satrlar va ustunlar jami 11 ta. Dirixle prinsipiga koʻra qaysidir 2 chiziqda (satr va

ustunlarda) bir xil sondagi boʻyalgan kataklar boʻladi.

Bu yerda boʻyalgan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 kataklar “qafas”lar soni, satr va ustunlar “quyon” lar

boʻladi.

5 – masala. 10 ta dugona bir-birlariga bayram sovgʻalari berishdi. Har biri boshqasiga

5 ta sovgʻa berdi. Dugonalargdan ikkitasi biri ikkinchisiga sovgʻa berganini isbotlang.

Isboti. Barcha sovgʻalar soni

10 5 50  =

(bular “quyon”lar). Barcha insonlar juftliklari

soni 45 ta (bular “qafas”lar). Dirixle prinsipiga koʻra hech boʻlmaganda ikkita sovgʻa bitta

juftlikka toʻgʻri keladi, demak bu juftlikdagi dugonalar bir-biriga sovgʻa ulashgan.

6 – masala. 15 ta bola 100 ta olma terishibdi. Ulardan qaysidir ikkitasi bir xil sondagi

olma terganligini isbotlang.

Isboti. Teskarisidan faraz qilaylik, ya’ni qandaydir ikkitabola bir xil sondagi olmalarni

termagan boʻlsin. U holda ular

0 2 3 ... 14 105 + + + + =

tadan kam boʻlmagan olmalarni

terishlar kerak edi. Ziddiyat.