Ярославский педагогический вестник

схему
 
доказательства
 
теоремы
с
использованием
результата
леммы
. 
Сначала
по
из
-
вестной
тереме
о
числовых
рядах
мы
подбираем
множители
{ }
∞
=
1
i
i
R
такие
, 
что
i
i
R
R
,
0
>
монотонно
возрастают
до
бесконечности
и
∞
<
∑
∞
=
])
1
,
0
([
1
L
i
i
i
f
R
. 
Далее
вводим
в
рассмотрение
функцию
∑
∞
=
=
1
)
(
)
(
)
,
(
i
i
i
i
x
f
R
t
r
t
x
F
по
системе
Радемахера
(
здесь
]
1
,
0
[
)),
2
(sin(
)
(
1
∈
=
−
t
t
sign
t
r
i
i
π
). 
Затем
, 
используя
лемму
2 
и
неравенство
∞
<
∑
∞
=
])
1
,
0
([
1
L
i
i
i
f
R
,
про
-
веряем
фундаментальность
последовательности
частичных
сумм
в
пространстве
)
]
1
,
0
([
2
L
и
делаем
вывод
о
сходимости
в
данном
пространстве
, 
а
значит
, 
и
о
сходимости
почти
всюду
, 
некоторой
под
-
последовательности
частичных
сумм
ряда
. 
По
теореме
Фубини
, 
почти
при
всех
]
1
,
0
[
∈
t
функция
)
,
(
t
x
F
является
интегрируемой
по
Лебегу
. 
Далее
применяем
к
ней
операторы
l
T
и
проверяем
, 
что
функции
))
,
(
(
t
x
F
T
l
как
функции
переменного
t 
принадлежат
классу
])
1
,
0
([
2
L
. 
Если
предположить
, 
что
теорема
неверна
, 
то
для
любой
функции
])
1
,
0
([
L
f
∈
для
почти
всех
]
1
,
0
[
∈
x
выполнено
нера
-
венство
[
]
∞
<
=
)
(
)
(
sup
)
(
)
(
*
x
f
T
x
f
T
l
l
. 
Отсюда
следует
, 
что
почти
всюду
на
[0,1]x[0,1] 
выполнено
( )
∞
<
)
,
(
*
t
x
F
T
. 
Однако
если
взять
множество
положительной
меры
]
1
,
0
[
]
1
,
0
[
×
⊂
×
Ε
I
, 
где
i
E
lim
=
Ε
, 
то
с
помощью
Леммы
2 
и
несложных
выкладок
можно
получить
противоречие
, 
что
и
за
-
вершит
доказательство
теоремы
. 
Замечание
. 
Если
для
какой
-
либо
ОНС
функций
на
отрезке
[0,1] 
можно
в
лемме
1 
заменить
в
пра
-
вой
части
неравенства
(2) B*log(n) 
на
более
быстро
растущую
монотонную
последовательность
A
n
, 
то
и
в
теореме
можно
будет
заменить
оценку
))
log(
)
(
(
m
n
m
n
O
−
∗
−
λ
на
оценку
))
(
)
(
(
m
n
A
m
n
O
−
∗
−
λ
, 
причем
доказательство
полностью
сохранится
. 
Библиографический
 
список
 
П
. 
А
. 
Корнилов

68

---

Ярославский
 
педагогический
 
вестник
– 2012 – 
№
1 – 
Том
III (
Естественные
науки
)
Расходящиеся
 
ряды
 
Фурье
 
интегрируемых
 
функций
 
69
1.
Бочкарев
, 
С
. 
В
. 
О
расходящемся
на
множестве
положительной
меры
ряде
Фурье
для
произвольных
ограниченных
ОНС
[
Текст
] / 
С
. 
В
. 
Бочкарев
// 
Матем
. 
сборник
. – 1975. – 
Т
. 98 (140), 
№
3 (11). – 
С
. 37–49. 
2.
Зигмунд
, 
А
. 
Тригонометрические
ряды
. 
Т
. 1 [
Текст
] / 
А
. 
Зигмунд
. – 
М
. : 
Наука
, 1982 
г
. 
3.
Stein E.M. On limits of sequences of operators, Ann. Math., Ser.2, 1961, V.74, 
№
1, p.140-170.