Yarimo’tkazgichlarda donor va akseptor miqdorini hisoblash va Fermi sathining holati

Yarimo’tkazgichlarda donor va akseptor miqdorini hisoblash va Fermi sathining holati
Yarim o‘tkazgichlarda erkin zaryad tashuvchi gazning xususiyatlarini belgilovchi asosiy parametrlardan biri µ –ximiyaviy potensialdir. Elektron va kovakli gazlar uchun, ximiyaviy potensial oddiygina qilib Fermi sathi deb ataladi. Ma’lumki, metallarda Fermi sathi o‘tkazuvchanlik sohasidagi elektronlar bilan to‘lgan oxirgi energetik sathni belgilaydi. T = 0 K da Fermi sathidan pastdagi barcha energetik sathlar elektronlar bilan to‘lgan, undan yuqoridagi energetik sathlarning barchasi bo‘shdir.
Metallarda elektron gazning kontsentratsiyasi o‘tkazuvchanlik sohasidagi holatlar soni bilan bir xil bo‘ladi, shuning uchun bu gaz buzilgan gaz hisoblanadi va elektronlarning holatlar bo‘yicha taqsimoti Fermi – Dirak statistikasi bilan ifodalanadi. Bunday gazdagi elektronlar kontsentratsiyasi temperaturaga deyarli bog‘liq emas.
Xususiy va kam aralashmali yarim o‘tkazgichlarda elektron yoki kovak gazlari buzilmagan gazlardir va ularning holatlar bo‘yicha taqsimlanishi Maksvell–Boltsman klassik statistikasi bilan ifodalanadi. Bundan yarim o‘tkazgichlarda erkin zaryad tashuvchilar kontsentratsiyasi Fermi sathi va temperaturaga bog‘liqdir.




1-rasm. Xususiy yarim o‘tkazgichning energetik diagrammasi

Temperatura absolyut noldan sezilarli farqli bo‘lganda T = 0 K, bu yarim o‘tkazgichning o‘tkazuvchanlik sohasida erkin elektronlar va valent sohasida kovaklar hosil bo‘ladi. Ularning kontsentratsiyasini n va p deb belgilaymiz. Elektronlar kinetik energiyasining hisob boshi qilib o‘tkazuvchanlik sohasining tubini qabul qilamiz. SHu sathga yaqin masofada, o‘tkazuvchanlik sohasida dE energiya oralig‘ini ajratib olamiz.

Rasmda xususiy yarim o‘tkazgich keltirilgani va elektron gaz buzilmagan bo‘lganligi sababli, dE energiya oralig‘idagi dn elektronlar kontsentratsiyasini Maksvell – Boltsman taqsimotiga asoslanib hisoblashga urinib ko‘ramiz:



,
,
,

Aynimagan yarim o‘tkazgichlarda µ – manfiy qiymatga ega bo‘ladi va Fermi sathi o‘tkazuvchanlik sohasining tubidan pastda joylashadi.

O‘tkazuvchanlik sohasidan Fermi sathigacha bo‘lgan energetik masofani m va valent sohasi shipidan bu sathgacha bo‘lgan energetik masofani µ¢ deb belgilaymiz va ular taqiqlangan soha kengligi bilan quyidagicha bog‘lanadi:



bu erda Е_g – taqiqlangan sohaning kengligi. T temperaturada o‘tkazuvchanlik sohasidagi elektronlarning kontsentratsiyasini 0 dan eng yuqori energetik sath - Е_yu gacha energiya oralig‘ida integrallash bilan topamiz:
, E ortishi bilan funktsiyasi juda tez kamayib borishini e’tiborga olsak, integrallash chegarasini 0 dan ¥ gacha deb olish mumkin


,
_{Bu funktsiyaning echimi xususiy yarim o‘tkazgichning o‘tkazuvchanlik sohasidagi elektronlar kontsentratsiyasining ifodasini beradi:}
,

Xuddi shu amallarni valent sohasidagi kovaklar uchun qo‘llab ularning kontsentratsiyasi uchun quyidagi munosabatga ega bo‘lamiz:


,

(71.9) va (71.10) – ifodalarda m_n va m_p elektron va kovaklarning effektiv massalaridir. SHu ifodalardan ko‘rinib turibdiki, Fermi sathi bilan sohalar o‘rtasidagi energetik masofa kengayishi bilan shu sohaga tegishli zaryad tashuvchilar kontsentratsiyalari (n va p) kamayib boradi.

Aynimagan yarim o‘tkazgichlarda, belgilangan biror T – temperatura uchun, elektronlar bilan kovaklar kontsentratsiyalarining ko‘paytmasi o‘zgarmas kattalikdir.


,

Xususiy yarim o‘tkazgichlarda o‘tkazuvchanlik sohasidagi elektronlar kontsentratsiyasi n_i valent sohadagi kovaklar kontsentratsiyasi p_i ga tengdir:
chunki, valent sohadan o‘tkazuvchanlik sohasiga qancha elektron o‘tsa, shuncha bo‘sh energetik o‘rinlar, ya’ni kovaklar hosil bo‘ladi. SHuning uchun (71.9) – va (71.10) – ifodalarning o‘ng tomonlarini tenglashtirsak, quyidagi ifodaga ega bo‘lamiz:



Bu ifodani m ga nisbatan echib, xususiy yarim o‘tkazgichning Fermi sathi holatini aniqlaymiz:

T = 0 K bo‘lgan holda ga teng, ya’ni Fermi sathi taqiqlangan sohaning qoq o‘rtasida joylashgan. Temperatura ortishi bilan, agar µ_p > µ_n bo‘lsa, Fermi sathi o‘tkazuvchanlik sohasi tubi tomon siljiydi, µ_n > µ_p bo‘lsa, valent sohasi shipi tomon siljiydi. Lekin bu siljishlar shunchalik kichikki, ularni ayrim hollarda e’tiborga olmasa ham bo‘ladi.

Fermi sathining qiymatini (, xususiy yarim o‘tkazgichlardagi elektron va kovaklar kontsentratsiyasini aniqlashimiz mumkin:

_ular taqiqlangan soha kengligi va temperaturaga bog‘liqdir. Xususiy yarim o‘tkazgichlarda belgilangan T – temperatura uchun elektronlar va kovaklar kontsentratsiyalarining ko‘paytmasi o‘zgarmas kattalikdir:

Kirishmali yarim o‘tkazgichlarda Fermi sathi holati va zaryad tashuvchilar kontsentratsiyasi