Yakuniy nazorat savollari tasdiqlayman

DIFFERENSIAL TENGLAMALAR fanidan YAKUNIY NAZORAT ISHI.

1-savol. Moddiyjismniharakatqilishidabosiboʻtilganmasofa, tezlikvatezlanishoʻrtasidagibogʻlanishlardifferensialtenglamalarorqaliifodalang.

Moddiyjismniharakatqilishidabosiboʻtilganmasofa, tezlikvatezlanishoʻrtasidagibogʻlanishlarquyidagichatengliklarbilanifodalanadi:

(1)

Nyutonning 2-qonuniga koʻratezlanishvajismgataʼsirqiluvchikuchoʻrtasidagibogʻliqlikifodalanadi.

(2)

(1) tenglikdaharakattoʻgʻrichiziqli deb farazqilinadi. Agar harakattoʻgʻrichiziqliboʻlmasa, (1) tenglikda ham vector shaklgaoʻtishlozim. (1) tenglamalaryozilishidankoʻrinibturibdikiulardifferensialtenglamalarnitashkilqiladi.

Quyidagichamasalaniqarabchiqamiz:Massasi m gatengboʻlganmoddiynuqtatepagavertikalravishda boshlangʻich tezlikbilanotilganboʻlsin (1-rasm). Ushbunuqtaqandayybalandlikkaerishishinianiqlang. Harakattoʻgʻrichiziqliboʻlganiuchun, oʻzgaruvchilarningskalyarshakllaridanfoydalanishmumkin. Harakatoʻqinivertikalyuqorigaqarabyoʻnaltiramiz. Koordinataboshiniharakatboshlanadigannuqtadagajoylashtiramiz. Jismni material nuqta deb farazqilganimizuchun, havoniqarshiliginieʼtiborgaolmaymizvaungafaqatogʻirlikkuchitaʼsirqilayapti deb hisoblaymiz.

Nyutonqonunigakoʻra (2) ni koʻrinishda yozish mumkin. Bu yerda minus ishora olinadi, chunki ogʻirlik kuchi harakatga qarama-qarshi yoʻnalishda pastga qarab yoʻnalgan. (1) munosabatlardan foydalanamiz. Masofani x(t)orqalibelgilaymiz. Harakatboshlanmasidanoldinnuqtakoordinataboshidaboʻlganiuchunx(0)=0 deb olamiz, u holdaharakatningquyidagichamatemarikmodeliniolamiz (a=-gekanliginie’tiborgaolamiz)

Ushbudifferensialtenglamalarsistemasinibirin-ketinketma-ketlikdaishlashmumkin. Birinchitenglamadanquyidagigaegaboʻlamiz:

Boshlangʻichshartdanfoydalanib C parametrniqniqlaymiz. ekanligini aniqlaymiz. Natijada

ifodagaegaboʻlamiz. Ikkinchitenglamaniintegrallaymiz:

aniqlash uchun boshlangʻich shartdan foydalanamiz ekanligini aniqlaymiz. Shunday qilib masofa uchun quyidagicha tenglamaga ega boʻlamiz:

Nuqtaerishishimumkinboʻlganmaksimalbalandliknianiqlashuchun, shunitaʼkidlashkerakkinuqtayuqorigaqarabkoʻtarilgan sari tezlikkamayibboradivamaʼlumbirbalanddlikdanolgaaylanadi, shundankeyinyanapastgaqarabqulashniboshlaydi. Shundayqilibv=0shartdant nitopamizvaunix(t)gaqoʻyibqidirilayotganbalandliknitopamiz:

Agarjismoʻlchamlarinieʼtiborgaolinsa, uholdahavoqarshiliginieʼtiborgaolishlozim. Havoningqarshilikkuchijismtezligigaproporsionalvaharakatgateskariyoʻnalgan. Natijadaharakatningmatematikmodeliquyidagichakoʻrinishnioladi:

Buyerdakoeffitsiyentjismkoʻndalangkesimiyuzasigabogʻliqvakoʻrilayotganholuchuneksperimentalkoʻrinishdaaniqlanadi. Berilganmodelniyechishvatahlilqilishnimustaqilbajarishnitavsiyaqilamiz. Agarharakattoʻgʻrichiziqliboʻlmasa, uholdatezliknivectorkattalikdebqarashkerak. Tekislikdagiholniqarashbilanchegaralanamiz.

2-savol.