Я. Гудфеллоу, И. Бенджио, А. Курвилль

x
.
Мы можем аппроксимировать 
s
, произведя выборку объема 
n
из 
p
: 
x
(1)
, …, 
x
(
n
)
, а за-
тем вычислив эмпирическое среднее:
(17.3)
В обоснование такой аппроксимации можно привести несколько соображений. 
Первое тривиальное наблюдение заключается в том, что оценка 
s
ˆ несмещенная, т. к.
(17.4)
Кроме того, согласно 
закону больших чисел
, если примеры 
x
(
i
)
независимы и оди-
наково распределены, то средние почти наверняка сходятся к математическому ожи-
данию:
(17.5)
при условии что дисперсия отдельных членов Var[
f
(
x
(
i
)
)] ограничена. Чтобы убедить-
ся в этом, рассмотрим дисперсию 
s
ˆ
n
с ростом 
n
. Дисперсия Var[
s
ˆ
n
] убывает и сходится 
к 0, коль скоро Var[
f
(
x
(
i
)
)] ] < 
∞
:
, 
(17.6)
(17.7)
Этот полезный результат заодно говорит, как оценить недостоверность среднего 
Монте-Карло, или, эквивалентно, величину ожидаемой погрешности аппроксимации 
Монте-Карло. Мы вычисляем одновременно эмпирическое среднее 
f
[(
x
(
i
)
)] и эмпи-
рическую дисперсию
1
, а затем делим оценку дисперсии на число примеров 
n
для по-
лучения оценки Var[
s
ˆ
n
]. Согласно 
центральной предельной теореме
, распределение 
среднего 
s
ˆ
n
сходится к нормальному распределению со средним значением 
s
и дис-
персией Var[
f
(
x
)]/
n
. Это позволяет оценить доверительные интервалы вокруг оцен-
ки 
s
ˆ
n
с помощью интегральной функции распределения нормальной плотности.
1
Часто предпочтительнее несмещенная оценка дисперсии, в которой сумма квадратов раз-
ностей делится на 
n
– 1, а не 
n
.

---

Выборка по значимости 
