Я. Гудфеллоу, И. Бенджио, А. Курвилль

75
3.12. Технические детали непрерывных величин
Для формального изложения непрерывных случайных величин и функций плотно-
сти вероятности необходимо знакомство с разделом математики, который называется 
теория меры
. Эта теория выходит за рамки книги, но мы можем бегло осветить во-
просы, которые она решает.
В разделе 3.3.2 мы видели, что вероятность нахождения непрерывной векторной 
случайной величины 
x
в некотором множестве 
𝕊
равна интегралу функции 
p
(
x
), 
взятому по этому множеству. Но при определенном выборе 
𝕊
возникают парадоксы. 
Например, можно построить два множества 
𝕊
1
и 
𝕊
2
, так что 
p
(
x
∈
𝕊
1
) + 
p
(
x
∈
𝕊
2
) > 1, 
но 
𝕊
1
∩
𝕊
2
= 
∅
. При построении таких множеств используются инфинитезимальные 
свойства вещественных чисел, например строятся фрактальные множества или мно-
жества, получаемые преобразованием множества рациональных чисел
1
. Один из 
основ ных вкладов теории меры – характеристика множества множеств, для которых 
можно вычислить вероятность, не сталкиваясь с парадоксами. В этой книге интегри-
рование производится только по относительно простым множествам, так что этот 
аспект теории меры не имеет большого значения.
Для наших целей теория меры более полезна с точки зрения теорем, применимых 
к большинству точек 
ℝ
n
, за исключением некоторых граничных случаев. Теория меры 
позволяет строго описать, что такое пренебрежимо малое множество точек. Говорят, 
что такое множество имеет 
меру нуль
. Мы здесь не станем формально определять это 
понятие. Достаточно интуитивного представления о том, что множество меры нуль 
не занимает никакого объема в рассматриваемом пространстве. Например, в 
ℝ
2
пря-
мая имеет меру нуль, а залитый многоугольник – положительную меру. Точно так же 
отдельно взятая точка имеет меру нуль. Объединение счетного множества множеств 
меры нуль само имеет меру нуль (так что множество всех рациональных чисел имеет 
меру нуль).
Еще один полезный термин из теории меры – 
почти всюду
. Говорят, что свойство 
выполняется почти всюду, если оно выполняется для всех точек пространства, за ис-
ключением множества меры нуль. Поскольку исключения занимают пренебрежимо 
малую часть пространства, в большинстве приложений их можно без опаски игнори-
ровать. Некоторые важные результаты теории вероятностей справедливы для всех 
дискретных случайных величин, но лишь «почти всюду» для непрерывных.
Еще одна техническая деталь, относящаяся к непрерывным величинам, – рабо-
та с непрерывными случайными величинами, являющимися детерминированными 
функциями других случайных величин. Допустим, имеются две случайные величины