Я. Гудфеллоу, И. Бенджио, А. Курвилль

A
. Определим 
A
следующим образом:
A
i
, 
j
= 
T
(
x
′
= 
i
| 
x
= 
j
). 
(17.19)
Перепишем формулу (17.18), воспользовавшись этим определением. Вместо того 
чтобы использовать 
q
и 
T
для описания изменения одного состояния, мы можем с по-
мощью 
v
и 
A
описать, как меняется распределение всех марковских цепей (выпол-
няемых параллельно) после перехода состояния:
v
(
t
)
= 
Av
(
t
–1)
.
(17.20)
Изменение состояния марковской цепи соответствует умножению на матрицу 
A
. 
Иными словами, весь процесс можно описать как возведение матрицы 
A
в степень:
v
(
t
)
= 
A
t
v
(0)
.
(17.21)

---

Методы Монте-Карло по схеме марковской цепи 

501
Матрица 
A
обладает специальной структурой, поскольку ее столбцы представляют 
распределения вероятности. Такие матрицы называются 
стохастическими
. Если су-
ществует ненулевая вероятность перехода из любого состояния 
x
в любое другое со-
стояние 
x
′
для некоторой степени 
t
, то по теореме Перрона–Фробениуса (Perron, 1907; 
Frobenius, 1908) наибольшее собственное значение матрицы вещественно и равно 1. 
Мы видим, что с течением времени все собственные значения возводятся в степень: