Я. Гудфеллоу, И. Бенджио, А. Курвилль

498 

 
Методы Монте-Карло
где 
Z
– нормировочная постоянная, выбранная так, чтобы сумма или интеграл 
q
*
(
x
) 
были равны 1. В лучших выборочных распределениях по значимости вес больше там, 
где больше подынтегральное выражение. На самом деле если 
f
(
x
) не меняет знак, то 
Var[
s
ˆ
q
*
] = 0, т. е. при использовании оптимального распределения 
достаточно одного 
примера
. Конечно, так происходит только потому, что вычисление 
q
*
по существу уже 
решило исходную задачу, так что на практике не имеет особого смысла производить 
выборку одного примера из оптимального распределения.
Допустимо любое выборочное распределение 
q
(в том смысле, что оно дает пра-
вильное значение математического ожидания), а 
q
*
является оптимальным (в том 
смысле, что дает минимальную дисперсию). Выборка из 
q
*
обычно неосуществима, 
но при другом выборе 
q
может оказаться возможной, и при этом дисперсия все равно 
уменьшается.
Еще один подход состоит в использовании 
смещенной выборки по значимости
, 
для которой не требуется нормировать 
p
или 
q
. Для дискретных случайных величин 
оценка смещенной выборки по значимости определяется по формуле
(17.14)
(17.15)
(17.16)
где 
p~
и 
q~
– ненормированные формы 
p
и 
q
, а 
x
(
i
)
– выборка из 
q
. Эта оценка смещена, 
потому что 
𝔼
[
s
ˆ
BIS
] 
≠
s
, а лишь асимптотически приближается к 
s
, когда 
n 
→ ∞
и знаме-
натель в выражении (17.14) стремится к 1. Поэтому эта оценка называется асимпто-
тически несмещенной.
Хороший выбор 
q
может значительно повысить эффективность оценки методом 
Монте-Карло, но при плохом выборе эффективность может резко снизиться. Возвра-
щаясь к формуле (17.12), мы видим, что если существуют выборочные примеры из 
q
, для которых (
p
(