Я. Гудфеллоу, И. Бенджио, А. Курвилль

x
) 
активно
, если 
h
(
i
)
(
x
*
) = 0. Если ограничение не активно, то решение задачи, 
найденное при наличии этого ограничения, останется, по меньшей мере, локальным 
решением, если ограничение снять. Может случиться, что неактивное ограничение 
исключает другие решения. Например, в выпуклой задаче, где имеется целая об-
ласть глобально оптимальных точек (широкая плоская область с одинаковой стои-
мостью), некоторое подмножество этой области может исключаться ограничениями. 
А в невыпуклой задаче, возможно, удалось бы найти лучшие локальные стационар-
ные точки, но они исключаются ограничениями, неактивными в точке сходимости. 
Тем не менее точка сходимости остается стационарной точкой вне зависимости от 

---

94 

 
Численные методы
того, включены или нет неактивные ограничения. Поскольку значение неактивной 
функции 
h
(
i
)
отрицательно, в решении задачи min
x
max
λ
max
α
, 
α
≥
0
L
(
x
, 
λ
, 
α
) коэффици-
ент 
α
i
= 0. Таким образом, в решении 
α
⊙
h
(
x
) = 
0
. Иначе говоря, для всех 
i
мы знаем, 
что хотя бы одно из ограничений – 
α
i
 
≥
0 или 
h
(
i
)
(
x
) 
≤
0 – должно быть активно для 
решения. Интуитивно эту мысль можно выразить, сказав, что решение либо нахо-
дится на границе, определяемой неравенством, и тогда мы должны использовать его 
множитель ККТ, либо неравенство вообще не влияет на решение, и тогда его множи-
тель ККТ обнуляется.
У оптимальных точек задач оптимизации с ограничениями есть простой набор 
свойств, называемых условиями Каруша–Куна–Таккера (Karush, 1939; Kuhn and 
Tucker, 1951). Это необходимые, но недостаточные условия оптимальности точки.