Xxiii bob analitik statika

64-§. Mumkin bo’lgan ko’chish prinsipi
Tayanch iboralar: Kuch, haqiqiy va mumkin bo’lgan ko’chish, muvozanat, bog’lanish, ideal bog’lanish, bog’lanish reaksiyasi.
Moddiy nuqta yoki mexanik sistemaga qo’yilgan kuchlar sistemasi muvozanatda ekanligi kuchlar sistemasining geometrik yig’indisi nolga tengligini bildiradi. Mexanik sistemaga qo’yilgan hamma kuchlar sistemasining muvozanati sistemaning muvozanati bilan teng kuchli bo’lmaydi. Kuchlar sistemasi muvozanatda bo’lganda erkin moddiy nuqta yoki mexanik sistema to’g’ri chiziqli tekis harakatda ham bo’lishi mumkin. Demak, mexanik sistema muvozanatda bo’lishi uchun unga qo’yilgan hamma kuchlar sistemasining muvozanatda bo’lish shartiga, sistema nuqtalari boshlang’ich tezliklarining nolga tengligi shartini qo’shish yetarli. Shunday qilib, mexanik sistema muvozanatiga quyidagicha ta’rif berish mumkin: mexanik sistema muvozanatda bo’lishi uchun uning nuqtalariga ta’sir etuvchi hamma kuchlar muvozanatda va nuqtalarining boshlang’ich tezliklari nolga teng bo’lishi zarur va yetarli. Mexanik sistemaning k-nuqtasiga ta’sir etuvchi hamma aktiv kuchlarning teng ta’sir etuvchisini bilan, bog’lanish reaksiyalarining teng ta’sir etuvchisini bilan belgilaymiz. U holda mexanik sistemaning muvozanat sharti quyidagicha yoziladi:
(23.64.1)
1788 yilda Lagranj mexanik sistema muvozanatining zaruriy va yetarli shartini (mumkin bo’lgan ko’chish prinsipini) teorema sifatida isbotladi.
Mumkin bo’lgan ko’chish prinsipi. Ideal, statsionar, golonom va qo’yib yubormaydigan (ikki tomonli) bog’lanishli mexanik sistema muvozanatda bo’lishi uchun unga ta’sir etuvchi hamma aktiv kuchlarning ixtiyoriy mumkin bo’lgan ko’chishda bajargan ishlari yig’indisi va hamma nuqtalarining boshlang’ich tezliklari nolga teng bo’lishi zarur va yetarli:
. (23.64.2)
Zarurligi. Mexanik sistema muvozanatda bo’lsin. Mexanik sistema muvozanatda bo’lsa,

shartlar bajariladi.
Mexanik sistemaning berilgan tinch holatidan uning nuqtalariga mumkin bo’lgan ko’chishlar beramiz. Yuqoridagi muvozanat tenglamalarining har birini ga ko’paytirib, ularni hadma-had qo’shamiz:

yoki

Bog’lanish ideal bo’lganiligi uchun (23.63.1) shartga asosan:

Natijada quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

Yetarliligi. Faraz qilaylik, (23.64.2) shart bajarilsin, lekin mexanik sistema unga qo’yilgan kuchlar ta’sirida tinch holatdan harakatlana boshlasin. Teoremaning shartiga asosan bog’lanishlar statsionar bo’lgani uchun sistemaning biror dt vaqt oralig’idagi haqiqiy ko’chishlari mumkin bo’lgan ko’chishlardan biri bo’ladi.
Kinetik energiyaning o’zgarishi haqidagi teoremaga asosan aktiv kuchlar va bog’lanish reaksiyalarining mazkur ko’chishda bajargan ishlari yig’indisi musbat. Demak, sistema tinch holatdan harakatga keltirilganda uning kinetik energiyasi musbat orttirmaga erishadi. Shunday qilib,

yoki

Bog’lanish ideal bo’lgani uchun

va demak quyidagi tenglikka kelamiz:

Bu esa (23.64.2) shartiga zid, bu ziddiyat teoremaning yetarliligini isbotlaydi.