Xususiy hоsilali differentsial tenglama haqida tushuncha. Cheksiz tоr uchun Kоshi masalasini yechish. Asоsiy masalalarning qo`yilishi: Kоshi masalasi, chegaraviy masalalar, aralash masalalar

Xususiy hоsilali differentsial tenglama haqida tushuncha. Cheksiz tоr uchun Kоshi masalasini yechish. Asоsiy masalalarning qo`yilishi: Kоshi masalasi, chegaraviy masalalar, aralash masalalar
Fizika va texnikaning ko’pgina masalalari xususiy hosilali differentsial tenglamaga keltiriladi. Shuning uchun biz bu tenglamalarni turlarga ajratish va ularni yechish masalasi bilan shug’ullanamiz.
Ikkinchi tartibli xususiy hosilali quyidagi tenglama berilgan bo’lsin:
. (1)
Bu tenglamadagi - funksiyalar faqat va ga bog’liq funksiyalar.
Agar bu funksiyalar va ga bog’liq bo’lmasa bu tenglama doimiy koeffitsientli tenglama bo’ladi. bo’lsa (1) tenglama bir jinsli tenglama deyiladi.
(2)
almashtirish yordamida (1) ni yechish uchun qulay bo’lgan sodda, ya’ni kanonik formaga keltiramiz. Buning uchun xususiy hosilalarni hisoblaymiz:


(3)

(3) ni (1) ga qo’yib
(4)
tenglamaga ega bo’lamiz.
Bu tenglamada




va ni tanlash uchun quyidagi tenglamani ko’aramiz. Ushbu
(5)
tenglama (1) ning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
desak, bundan quyidagi ikki tenglama kelib chiqadi.
(6)


(7)
va ifoda tenglamaning turini aniqlaydi.
Agar biror M nuqtada
1. bo’lsa, (1) tenglama giperbolik turdagi
2. bo’lsa, (1) tenglama parabolik turdagi
3. bo’lsa, (1) tenglama elliptik turdagi
tenglamaga mansub bo’ladi.
1.To’lqin tarqalish tenglamasi:
(I)
(I) tenglama torning ko’ndalang tebranishini, sterjenni uzunasiga tebranishi, simda elektr tebranishlar, aylanuvchi valdagi aylanma tebranishlar, gazning tebranishlari va shu kabi tebranuvchi jarayonlarni ifodalaydi. Bu tenglama giperbolik tipdagi eng sodda tenglamadir.
2. Issiqlik tarqalish tenglamasi:
(II)
(II) tenglama issiqlik tarqalish jarayonini, g’ovak muhitda suyuqlik va gazning filtrlanish masalasini ifodalaydi. Bu tenglama parabolik tipdagi eng sodda tenglamadir.
3. Laplas tenglamasi
(III)
(III) tenglama elektr va magnit maydonlari haqidagi masalani, statsionar issiqlik holati haqidagi masalani, gidrodinamika, diffuziya va shunga o’xshash masalalarni o’rganishga olib keladi. Bu tenglama elliptik tipdagi eng sodda tenglamadir.
Bu tenglamalar uch o’zgaruvchi uchun quyidagicha bo’ladi.
To’lqin tenglamasi:
(I¹)
Issiqlik tarqalish tenglamasi:
(II¹)
Laplas tenglamasi:
(III¹)
Matematik-fizikada tor deganda egiluvchan va plastik ip tushiniladi. Torda har qanday vaqt momentida paydo bo’lgan zo’riqish uning profiliga o’tkazilgan urinma bo’yicha yo’nalgan bo’ladi. Masalan, L uzunlikdagi tor boshlang’ich momentda OX o’qining O dan L gacha bo’lgan kesmasi bo’yicha yo’nalgan bo’lsin.
Torning uchlari va nuqtalarga biriktirilgan deb faraz qilamiz. Agar torni uning dastlabki holatidan chetlashtirsak, so’ngra o’z holiga qo’yib yuborsak yoki torni chetlatmasdan, boshlang’ich momentdan uning nuqtalariga biror tezlik bersak, u holda torning nuqtalari harakatga keladi - tor tebrana boshlaydi. Masala har qanday vaqt momentida tor shaklini aniqlashdan hamda torning har bir nuqtasining vaqtga qarab harakat qonunini aniqlashdan iborat.

Tor nuqtalarining boshlang’ich holatidan kichik chetlanishlarini qaraymiz. Sunga kqra, tor nuqtalarining harakati OX o’qqa perpendikulyar holda va bir tekislikda vujudga keladi deb faraz qilish mumkin. Bu faraz bilan torni tebranishi jarayoni bitta funktsiya bilan ifoda etiladi. Bu funksiya abssissasi t momentida siljish miqdorini beradi (1-chizma).



2-chizma

1-chizma
Biz torninng (X, U) tekislikda kichik chetlanishlarini qarayotganimiz uchun, tor elementi uzunligi M₁M₂ uning OX o’qdagi proyeksiyasiga teng, ya’ni deb faraz qilamiz. Yana torning barcha nuqtalarida taranglik ham bir xil deb faraz qilamiz: uni T bilan belgilaymiz.
Torning MM¹ elementini qaraymiz (2-chizma). Bu elementning uchlarida T kuchlar torga urinma bo’yicha tahsir etadi. Urinmalar OX o’q bilan va burchaklar hosil qilsin. Bu holda MM¹ elementga tasir etuvchi kuchlarning OU o’qdagi proyeksiyasi ga teng bo’ladi. burchak juda kichik bo’lgani uchun deb faraz qilish mumkin va biz quyidagiga ega bo’lamiz:


Biz Lagranj formulasidan foydalandik. Harakat tenglamasini hosil qilish uchun elementga qo’yilgan tashqi kuchni inersiya kuchiga tenglash kerak, torning chiziqli zichligi bo’lsin. U holda tor elementining massasi bo’ladi. Elementning tezlanishi ga teng. Demak, Dalamber printspiga ko’ra ushbu tenglikka ega bo’lamiz: . belgilash orqali, harakatning ushbu tenglamasi hosil bo’ladi:
(4)
Bu to’lqin tenglama degan tenglama torning tebranish tenglamasidir.
Torning harakatini to’la aniqlash uchun (4) tenglamani o’zigina yetarli emas. Izlanayotgan U(x,t) funksiya ya’ni torning uchlarida (x0 va xl da) qanday bo’lishini ko’rsatuvchi chegaraviy shartlarni hamda boshlang’ich (t0) momentda tor holatini ifodalovchi boshlang’ich shartlarni qanoatlantirishi kerak. Chegaraviy va boshlangich shartlar chetki shartlar deb ataladi.
Masalan, biz faraz qilganimizdek, x0 va x da tor uchlari qo’zg’almas bo’lsin. U holda T qanday bo’lganida ham ushbu tenglik bajarilishi kerak.
U(0, t)0 U( , t)0 (5)
Ushbu tengliklar chegaraviy shartlar deyiladi.