Xulosa foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati kirish Kurs ishining dolzarbligi

Ikki o‘lchovli integral. Agar chiziqning boshlang‘ich va oxirgi nuqtasi ustma-ust tushsa,biz uni yopiq chiziq deb ataymiz. Yopiq chiziq bilan chegaralanagan to‘plamga chegaralovchi chiziq ham tegishli bo‘lsa, bunday to‘plamlar yopiq to‘plam deb ataladi.
𝑂𝑥𝑦 tekislikning 𝐷 sohasida uzluksiz 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) funksiya aniqlangan bo‘lsin. 𝐷 sohani biror usul bilan 𝑛 ta 𝐷_𝑖, 𝑖 = ̅1̅̅,̅𝑛̅ qismiy sohalarga ajratamiz va ularning yuzlarini mos ravishda ∆𝑆_𝑖, diametrlarini esa 𝑑_𝑖 va bu diametrlarning eng kattasini 𝑑 orqali belgilaymiz (3-rasm).
Har bir 𝐷_𝑖 sohada yxtiyoriy ravishda 𝑀(𝜉_𝑖; 𝜂_𝑖) nuqtani tanlaymiz va
𝑛
𝑓(𝜉₁, 𝜂₁)∆𝑆₁ + 𝑓(𝜉₁, 𝜂₁)∆𝑆₁ + ⋯ + 𝑓(𝜉_𝑛, 𝜂_𝑛)∆𝑆_𝑛 = ∑ 𝑓(𝜉_𝑖, 𝜂_𝑖)∆𝑆_𝑖 (3)
𝑖=1
yig‘indini tuzamiz. Bu yig‘indi (𝑥, 𝑦) funksiyaning 𝐷 soha bo‘yicha integral yig‘indisi deb ataladi.
1-Ta’rif. Agar (3) integral yig‘indi 𝑑 = 0 nuqtada chekli 𝐼 limitga ega bo‘lib, u 𝐷 sohani bo‘lish usuliga va undagi nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmasa, bu limitni biz (𝑥, 𝑦) funksiyaning 𝐷 soha bo‘yicha olingan ikki o‘lchovli integrali deb ataymiz va uni
𝐼 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑆 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷 𝐷
orqali belgilaymiz. Shunday qilib, ikki o‘lchovli integral
𝑛
∬ (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑛lim→∞ ∑ 𝑓(𝜉_𝑖, 𝜂_𝑖)∆𝑆_𝑖 (4)
𝐷 𝑑→0 𝑖=1
tenglik bilan aniqlanar ekan. Bunday holda (𝑥, 𝑦) funksiya 𝐷 sohada integrallanuvchi va 𝐷 −integrallash sohasi deb ataladi.
(2) va (4) tengliklarni taqqoslab, yuqorida qaralgan silindrik jism hajmi
𝑉 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 (5) 𝐷
formula bilan hisoblanadi deb xulosa chiqarish mumkin.


2 -§. Ikki o’lchovli integral ta’rifi





3-§. Ikki o’lchovli integral xossalari
Rimanning karrali integrallar nazariyasi fazodagi Jordan o‘lchoviga asoslangan. Jordan bo‘yicha o‘lchovli to‘plamlarning asosiy xossalaridan biri, uning chegaralangan bo‘lishidir. To‘plam chegarasining Jordan o‘lchovi 0 ga teng bo‘lishi zarur va etarlidir. fazoda Jordan bo‘yicha o‘lchovga ega bo‘lgan to‘plamga kvadratlanuvchi (kublanuvchi) soha deyiladi. bo‘lganda karrali integrallar nazariyasi ikki karrali integrallar nazariyasidan prinsipial jihatdan farq qilmaganligi va ikki karrali integrallarni tasavvur qilish osonroq bo‘lganligi sababli biz asosan ikki karrali integrallar nazariyasini keltirish bilan kifoyalanamiz. Butun paragraf davomida biz qaralayotgan sohani kvadratlanuvchi deb faraz qilamiz.
Aytaylik sohada funksiya aniqlangan bo‘lsin. sohani egri chiziqlar to‘ri yordamida n ta sohashalarga bo‘lamiz. sohada nuqta olib, ni hisoblaymiz hamda quyidagi
(1)
funksiyaning soha uchun integral yig‘indisinituzamiz. Bu yerda sohaning yuzasi.