Xarakteristik funksiyalar sinfi va taqsimot funksiyalar sinfi orasidagi uzluksiz moslik haqidagi teorema

Natija. Yagonalilik teoremasi. Taqsimot funksiya  o’z  xarakteristik funksiyasi orqali bir qiymatli aniqlanadi. Agar   ayirma   da   funksiyani bir qiymatli aniqlashini  e’tiborga olsak, u holda yuqoridagi teoremadan natijaning isboti kelib chiqadi.

         Xarakteristik funksiyalardan foydalanib, normal qonuning quyidagi muhim xossasini keltiramiz. Normal qonun bo’yicha taqsimlangan bog’liq bolmagan   va   tasodifiy miqdorlarning yig’indisi yana normal taqsimotga ega bo’ladi.

         Xaqiqatdan ham, bog’liq bo’lmagan   va  tasodifiy miqdorlar mos ravishda   va  parametrlar bo’yicha taqsimlangan bo’lsa, u holda   yig’indining xarakteristik funksiyasi:

Demak,  yig’indi parametrli  normal taqsimotga ega.

         Aksincha,   va   xarakteristik funksiyalar uchun

bo’lsa, u holda

   

bo’lishligini   G. Karmer isbotlagan, ya’ni o’zaro bog’liq bo’lmagan   va   tasodifiy miqdorlar yig’indisi   normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’lsa, u holda qo’shiluvchilarning  har biri ham normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’ladi.

           parametrli  Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor berilgan bo’lsin. Uning  xarakteristik  funksiyasi quyidagiga teng:

         Endi o’zaro bog’liq bo’lmagan   va   tasodifiy miqdorlar mos ravishda   va   parametrli Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan bo’lsin.  Ular yig’indisining  xarakteristik  funksiyasi quyidagiga teng:

Demak,   tasodifiy miqdor   parametrli Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan bo’ladi.