|
ch2 x
15° (cthx)' = ------— (хФ 0). sh2x
5.Misollar.duyidagi funksiyalarning hosilalarini toping .
1) у = In sinx, х.(0,я) bo’lsin .bu funkiyani бўлсин. у = 1пм, и = sinx
Deb qarash mumkin. (6.5)formuladan foydalanib topamiz:
у' — (In sinx)' = —-— (sinx)' = со- х- = ctgx. sin х sin x
2) у = [ti (x)] v(x> (и (x) > 0) bo’lib, и (x) va v(x) uf (x)
va v' (x) hosilaga ega bo'lsin.Bu ifodani logarifmlabtopamiz:
ln у = v (х) • In и (х).
Endi murakkab funksiyaning hoilasi (6.5) formulaga qarang ) va kopaytmaning hosilasi(6.9)formulaga qarang ) uchuntegishli formulalardan foydalanib topamiz:
— -у' --= V (х) • lnu(x) + V (х) — • и'(х).
у к (*)
bundan
у' = У \v'(x) • 1пы(х) -f • и'(х)] = [и (х)°(х> • [у'(х) • 1п« (х) +
I и (*) J
■и’ (х)| и (X)
Kelib chiqadi.Demak,
( [ u w r w)' = [u(x)]°w v' (х) ■ In и (х) + • и (х)1.
и (х) J
4-§.Funksiyaning differensiali
1.Funksiyaning differensiallanuvchi bolishi tushunchasi. f (х) funksiya (а, b) intervalda aniqlangan bo'lsin.
х.(а, b) nuqtani olib,unga shunday Ах (Дх^ёО) orttirma beraylikki, (х0 -г Д х) . (я, Ь) bo'lsin.U holda f (х) funksiya ham х0 nuqtada D у = f (х0 + А х) — f (х0) orttirmaga ega bo'ladi.Ravshanki,D у
orttirmada Dх ga bog’liq bo’lib,ko’pchilik hollarda А* bilanD у orasidagi bog'lanish murakkab bo'ladi.Tabiiyki bunda Dх ga ko’ra А у ni aniq yoki taqribiy hisoblash qiyinlahadi.Natijada orttirmasi Dх orttirma bilan oddaroq bog’lanishda bo’lgan funkiyalarni o’rganish masalasi yuzaga keladi.
3-tarif.Agar f (х) funksiyaning x0.(а, b) nuqtadagi orttirmasi Dy ni ifodalash mumkin bolsa , / (.v) funksiyani х0 nuqtada differeniallanuvchi deyiladi,bunda А — А х ga bog'liq bo'lmagan o'zgarmas , а esa Ах ga bog’liq va Ах->-0 da = а (Дх ) 0.
Ekanini etiborga olsak,u holda yuqoridagi (6.12) ifoda ushbu ko’rinishni oladi.Funksiya orttirmasi uchun (6.12) formulada А- А х
Ifoda orttirmaning bosh qismi deb yuritiladi.
Funksiyaning biror nuqtada differensiallanuvchi bo’lishi bilan uning shu nuqtada chekli hosilaga ega bo’lishi orasidagi bog’lanishni quyidagi teorema ko’rsatadi.
4-teorema f (х) funksiyaning х . (а, b) nuqtada differensillanuvchi bo’lishi uchun uning shu nuqtada chekli hosilaga ega bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot.Zarurligi f (х) funksiya х.(а, b) nuqtada differensiallanuvchi bo'lsin.Tarifga ko’ra , f (х) funksiyaning х.(а, b)
Nuqtadagi orttirmasini (6.13) ko’rinishda yozish mumkin. Shu (6.13)
Dan -------
Bo’lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi.f(х) funksiya х.(а, b) nuqtada chekli f(х) hosilaga ega bolsin.Hosila ta’rifiga ko’ra
Ау = А-Ах + а-Ах (6.12)
Agar
а ■ Ах = а (Ах)■ Ах = о (Ах)
Ау = А-Ах-\- о (Ах) (6.13)
ЬУ = ц j о (А х)
Ах Ах
Tenglikni yozish mumkin .Undan esa
/' (х) = lim
Д Х-+0 А х А х->0 А X
Bo’ladi.agar -----
Deb olsak ,undan А У = Г М-Дх + а-Дх
Ekanini topamiz .bu tenglikdagi a miqdor D х ga bog'liq va А х->0
Da а —«- 0. Demak ,f (х) funksiya х . (а, b) nuqtada differensiallanuvchi bolib , А = f' (x)bo’ladi.
Teorema isbot bo’ldi.
Isbot etilgan teorema f (х) funksiyaning х . (а, b) nuqtada chekli f'(х) hosilaga ega bo'lishi bilan uning shu nuqtada differensiallanuvchi bo’lishi ekvivalent ekanini ko’rsatadi.
2.Funksiya differensiali va uning geometrik ma’nosi.
f (х) funksiya (а, b) intervalda aniqlangan bo’lib, х.(а, b)
nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin .Demak , funksiyaning х nuqtadagi orttirmasi у А-Ах о (Дл)
ko’rinishda yoziladi.Bunda A= f' (х) bo'ladi.Bu tenglikda funksiya orttirmasi А у ikki qo'shiluvchi : argument orttirmasiАх ga nisbatan chiziqli А-Ах hamda delta x ga nisbatan yuqori tartibli Aх-*-0 да) cheksiz kichik miqdor о (Дх) lar yig’indisidan iborat ekani ko’rinadi.
4-tarif. f (х) funksiya orttirmasi А у ning Дх ga nisbatan chiziqli bosh qismi AAx = f' (х)Дх berilgan f (х) funksiyaning х
Nuqtadagi differensiali deyiladi.Fnksiyaning differensiali
dy yoki df (х) kabi belgilanadi:
dy = df (х) =5 А • А х = /' (х) • Д х.
Tarifga ko’ra (а-) funksiyaning х nuqtadagi differensiali А х ning chiziqli funksiyasi bo'lib , u funksiya orttirmasi А у dan о (Дх)
Ga farq qiladi.
Endi х.(а, b) nuqtada differensiallanuvchi bo'lgan f (х)
Funksiyaning grafigi 43-chizmada ko’rsatilgan chiziqni ifodalasin deylik.Bu chiziqning
(х, f (х)), (х + А х, f (х + А х))
Nuqtalarini mos ravishda Ғ
Va B bilan belgilaylik.unda ҒС = Ах, ВС = Ау bo'ladi.f (х)
Funkiya x.(а, b) nuqtada differensiallanuvchi bo'lgani uchun u x nuqtada chekli f' (х) hoilaga ega .demak f (х) funksiya grafigiga uning Ғ (х, f (х)) nuqtada o’tkazilgan FL urinma mavjud va bu urinmaning burchak koeffisenti tg a = f' (х). Shu FL urinmaning ВС bilan kesishgan nuqtasini D bilan belgilaylik.ravshanki FDC dan-D--C- = tga вva * undan DC = tg ос FC = f'(tx)- Ах
FC
Ekani kelib chiqadi.
Demak , f (х) funksiyaning x nuqtadagi differensiali d y^f ’ (х)
Funksiya grafigiga F (х, f (х)) nuqtada o'tkazilgan urinma orttirmasi
DC ni (DC = dy) ifodalaydi. Хususan, f (x) bo’lganda bu funksiyaning differensiali
Do'stlaringiz bilan baham: |
