Xvii bob. Ehtimollar nazariyasi asoslari

2-masala. Ikki mergan nishonga bittadan o’q uzdi. Birinchi merganning o’qi nishonga 0,8 ehtimol bilan, ikkinchi merganniki esa 0,4 ehtimol bilan tegadi. O’q uzilgandan so’ng nishonga bitta o’q tekkanligi (A hodisa) ma’lum bo’ldi, bu o’qni birinchi mergan uzgan bo’lishi ehtimolini toping.

Tajriba o’tkazishdan oldin quyidagi gipotezalarni qo’yamiz:

- birinchi mergan otgan o’q ham, ikkinchi mergan otgan o’q ham nishonga tegmaydi;

- ikkala merganning otgan o’qi ham nishonga tegadi;

- birinchi merganning otgan o’qi nishonga tegadi, ikkinchisiniki esa tegmaydi;

- birinchi merganning otgan o’qi nishonga tegmaydi, ikkinchisiniki esa tegadi.

Gipotezalardan bittasi va faqat bittasi tajriba natijasida albatta ro’y beradi, ya’ni , , , lar bog’liq bo’lmagan hodisalarning to’liq gruppasini tashkil etadi.

Bu gipotezalarning tajribadan oldingi ehtimollari:

Bu gipotezalarda kuzatilayotgan A hodisaning shartli ehtimollari quyidagilarga teng: .

Tajribadan keyin (A hodisa ro’y berganidan keyin) , gipotezalar ro’y bermasligi ma’lum bo’ladi.

va gipotezalarning tajribadan keyingi ehtimollari Bayes formulasiga ko’ra quyidagicha:

Demak, nishonga tekkan o’qning birinchi merganga tegishli bo’lish ehtimoli ekan.

3. Agar biror A hodisaning ro’y berish yoki ro’y bermasligini kuzatish uchun bir nechta tajribalar o’tkazilayotgan bo’lib, ularning har biriga A hodisaning ro’y berish yoki ro’y bermaslik ehtimoli qolgan tajribalarning natijalariga bog’liq bo’lmasa (bog’liq bo’lsa), u holda bu tajribalar A hodisaga nisbatan bog’liq bo’lmagan (bog’liq bo’lgan) tajribalar ketma-ketligini tashkil etadi deyiladi.

Masalan, yashikda s ta oq va l ta qora shar bo’lsin. Shu yashikdan bir necha marta bittadan shar olish tajribalari ketma-ketligini ko’raylik. Bunda har bir tajribadan so’ng olingan shar yashikka qaytarib solinsa (qaytarib solinmasa), bu tajribalar ketma-ketligi bir-biriga bog’liq bo’lmaydi (bir-biriga bog’liq bo’ladi).

Bog’liq bo’lmagan n ta tajriba o’tkazilayotgan bo’lib, har bir tajribada kuzatilayotgan A hodisaning ro’y berish ehtimoli p va ro’y bermaslik ehtimoli bo’lsin. Bu holda kuzatilayotgan A hodisaning n ta tajribada k marta ro’y berish ehtimoli quyidagi formula yordamida topiladi:

bu yerda

.

Bu formula Bernulli formulasi deyiladi.