Toshkent davlat pedagogika universiteti ilmiy axborotlari ilmiy-nazariy jurnali

 
SONLАR KO‘PАYTMАSINI HISOBLАSHNING INNOVАTSION USULLАRI 
 
Mаmаdаliyev B.K. – Аndijon dаvlаt universiteti o‘qituvchisi 
 
Annotatsiya.
Ushbu maqolada baʼzi natural sonlar ko‘paytmasini og‘zaki hisoblashga 
imkon beruvchi formulalar yaratilgan va bu formulalardan foydalanib misol va masalalar 
yechishning kreativ qobiliyatli o‘quvchilar tayyorlashdagi ahamiyati ochib berilgan.
Kalit so‘zlar:
kreativ, matematik kreativ, natural sonlar, ratsional sonlar, og‘zaki hisoblash.
ИННОВАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЧИСЕЛ 
 
Мамадалиев Б.К. – преподаватель Андижанский государственный университет 
 
 Аннотация
. В данной статье разработаны формулы, позволяющие устно вычислить 
произведения некоторых натуральных чисел, и, используя ети формулы, раскрыты 
значения в решении задач и примеров в подготовке креативно способных учеников. 
Ключевые слова:
креативность, математическая креативность, натуральные числа, 
рациональные числа, устно вычислять. 
THE INNOVATIVE METHODS OF CALCULATION OF NUMBERS 
 
Mamadaliyev B.K. – Teacher of Andijan State University 
 
Annotation.
In this article, formulas are developed that alow one to verbally calculate the 
works of certain natural numbers, and using these formulas, the meanings are revealed in 
solving problems and examples in the preparation of creative pupil. 
Key words:
creativity, mathematical creativity, natural numbers, rational numbers, 
verbally calculate. 
Hozirgi kunda kreativ qobiliyatli o‘quvchilarning xislatlarini o‘rganish, uni diagnostika 
qilish, metodlarini yaratish va ularning qobiliyatlarini aniqlash zamonaviy pedagogikaning 
dolzarb muammolaridan biridir. O‘quvchilarning matematik kreativligini rivojlantirish masalasi 
ularning tabiatidan kelib chiqqan holda alohida izlanishlarni talab qiladi. “Kreativlik – shaxsning 
91

---

TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI
 
ILMIY AXBOROTLARI 2020/6 
yaratuvchanlik, ijodkorlik xislatlari bilan bog‘liq ko‘nikmalar majmuyi sifatida namoyon bo‘ladi. 
Kreativlik o‘z ichiga muammolarga nisbatan yuqori darajadagi sezgirlik, muammoli vaziyatlarda 
tez qarorlar qabul qila olish, intuitsiya, natijalarni oldindan ko‘ra bilish, fantaziya, tadqiqotchilik 
va refleksiyani qamrab oladi. 
Shaxsning kreativligi uning tafakkurida, muloqotida, his-tuyg‘ularida, muayyan faoliyat 
turlarida namoyon bo‘ladi. Kreativlik shaxsni yaxlit holda yoki uning muayyan xususiyatlarini 
tavsiflaydi. Kreativlik iqtidorning muhim omili sifatida ham aks etadi. Qolaversa, kreativlik zehni 
o‘tkirlikni belgilab beradi”. 
Matematik kreativ qobiliyatli o‘quvchilar tayyorlashning asosiy vazifalaridan biri bu 
o‘quvchilarda puxta va mustahkam hisoblash malakalarini shakllantirishdan iboratdir. Bu borada 
asosiy eʼtibor, avvalo, hisoblashning og‘zaki usullariga qaratiladi va mumkin bo‘lgan hamma 
hollarda hisoblashlarni og‘zaki bajarish talab qilinadi. Faqatgina katta sonlar bilan ishlaganda, 
oraliq natijalarni esda saqlash qiyin bo‘lgan hollardagina yozma hisoblash usullariga murojaat 
qilish tavsiya etiladi [5.B.102].
Qulay hisoblash usullari natijani oson, ortiqcha murakkab amal bajarmasdan tez topishga 
imkon beradi. Buning uchun o‘qituvchining o‘zi ham puxta matematik tayyorgarlikka ega 
bo‘lishi, qulay usullarni qo‘llay olishi va ularning nazariy asoslarini yaxshi bilishi kerak.
O‘rta maktab matematika kursida natural, butun, ratsional, haqiqiy sonlar to‘plamlari 
kontsentrik doiralar asosida o‘rganiladi. Bunda natural sonlar nazariyasi qolgan sonlar 
nazariyasining yadrosi hisoblanadi. Natural sonlar to‘plamida kiritilgan arifmetik amallar qanday 
xossalarga ega bo‘lsa, butun, ratsional va haqiqiy sonlar to‘plamlarida kiritilgan arifmetik amallar 
ham bu xossalarga ega bo‘ladi. Shuningdek, haqiqiy sonlar ustida arifmetik amallar bajarish bilan 
bog‘liq masalalarni yechishda natural sonlar va bu sonlar ustida bajariladigan arifmetik 
amallarning xossalarini atroflicha bilish zaruriyati tug‘iladi. Bundan ko‘rinadiki, matematika 
darslarida o‘quvchilarga natural sonlar nazariyasini atroflicha o‘rgatib borish, kreativ qobiliyatli 
o‘quvchilar tayyorlashning muhim bo‘g‘inlaridan biri hisoblanadi.
Natural sonlar nazariyasini atroflicha o‘rganish uchun esa, avvalo, bu sonlar ustida 
arifmetik amallar bajarishning har xil usullarini bilish zarur.
Shularni eʼtiborga olib biz natural sonlar ko‘paytmasini hisoblashning har xil usullarini 
keltirib chiqarishga harakat qildik. Natijada baʼzi nomanfiy butun sonlarning ko‘paytmasini tez va 
oson hisoblashning yangi usullarini keltirib chiqardik.
Bu usullar quyidagi teoremalarda o‘z aksini topgan (quyidagi belgilashlardan foydalanamiz: 
𝑛 ∙ 10 + 𝑝 = 𝑛𝑝
̅̅̅̅
; 
𝑛 ∙ 100 + 𝑚 ∙ 10 + 𝑝 = 𝑛𝑚𝑝
̅̅̅̅̅̅
; 
(𝑛𝑚) ∙ 10 + 𝑝 = 𝑛𝑚𝑝
̅̅̅̅̅̅
).
Teorema 1. 
np
̅̅̅̅
va 
𝑚𝑞
̅̅̅̅
lar oxirgi raqamlari yig‘indisi 10ga teng bo‘lgan ixtiyoriy nomanfiy 
butun sonlar bo‘lsin, u holda bu sonlarning ko‘paytmasi uchun quyidagi formula o‘rinli: 
𝑛𝑝
̅̅̅̅ ∙ 𝑚𝑞
̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑚 + 1)](𝑝 ∙ 𝑞)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + [𝑝 ∙ (𝑚 − 𝑛)]0
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(1)
Izoh: p=1 va q=9 bo‘lganda (1) formuladagi p·qning o‘rniga 09ni yozish kerak. Masalan, 
51·79=
[5 ∙ (7 + 1)]09
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + [1 ∙ (7 − 5)]0
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 4009 + 20 = 4029
Teorema isboti. 
𝑛𝑝
̅̅̅̅ ∙ 𝑚𝑞
̅̅̅̅ = (10 · 𝑛 + 𝑝) ∙ (10 · 𝑚 + 𝑞) = 100 · 𝑛 · 𝑚 + 10 · 𝑛 · 𝑞 + 10 · 𝑚 · 𝑝 + 𝑝 · 𝑞 =
100 · 𝑛 · 𝑚 + 10 · 𝑛 · 𝑞 + 10 · 𝑛 · 𝑝 +
10 · 𝑚 · 𝑝 − 10 · 𝑛 · 𝑝 + 𝑝 · 𝑞 = 100 · 𝑛 · 𝑚 + 10 · 𝑛 · (𝑞 + 𝑝) + 𝑝 ∙ 𝑞 + 10 ∙ 𝑝 · (𝑚 − 𝑛)
= 100 · 𝑛 · 𝑚 + 10 · 𝑛 ∙ 10 + 𝑝 · 𝑞 + 𝑝 · (𝑚— 𝑛) · 10
= 𝑛 · (𝑚 + 1) · 100 + 𝑝 · 𝑞 + [𝑝 ∙ (𝑚 − 𝑛)]0
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= [𝑛 ∙ (𝑚 + 1)](𝑝 · 𝑞)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + [𝑝 ∙ (𝑚 − 𝑛)]0
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
teorema isbot bo‘ldi. 
92

---

TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI
 
ILMIY AXBOROTLARI 2020/6 
Natija 1. n va n+k lar ixtiyoriy nomanfiy butun sonlar, p va q lar esa yig‘indisi 10ga teng bo‘lgan 
raqamlar bo‘lsin. U holda, 
𝑛𝑝
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 𝑘)𝑞
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 𝑘 + 1)](𝑝 ∙ 𝑞)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + (𝑝 ∙ 𝑘)0
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(2) 
formula o‘rinli. 
Bu natijani isbotlash uchun teorema 1da m ning o‘rniga uning xususiy qiymati n+k ni 
qo‘yish kifoya. 
(1) formuladagi p va q larning o‘rniga ularning p+q=10 tenglamani qanoatlantiruvchi 
qiymatlarini qo‘yib quyidagi natijalarni hosil qilamiz.
Natija 2. n va m lar ixtiyoriy nomanfiy butun sonlar bo‘lsin. U holda
𝑛1
̅̅̅̅ ∙ 𝑚9
̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑚 + 1)]09
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + (𝑚 − 𝑛)0
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(1.1)
𝑛2
̅̅̅̅ ∙ 𝑚8
̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑚 + 1)]16
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + [2 ∙ (𝑚 − 𝑛)]0
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 
(1.2)
𝑛3
̅̅̅̅ ∙ 𝑚7
̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑚 + 1)]21
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + [3 ∙ (𝑚 − 𝑛)]0
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 
(1.3)
𝑛4
̅̅̅̅ ∙ 𝑚6
̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑚 + 1)]24
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + [4 ∙ (𝑚 − 𝑛)]0
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 
(1.4)
𝑛5
̅̅̅̅ ∙ 𝑚5
̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑚 + 1)]25
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + [5 ∙ (𝑚 − 𝑛)]0
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 
(1.5) 
formulalar o‘rinli.
Bu formulalar m ning n+k ga teng qiymatlarida quyidagi ko‘rinishni oladi.
𝑛1
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 𝑘)9
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 𝑘 + 1)]09
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + 𝑘0
̅̅̅̅ 
(1.1.1)
𝑛2
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 𝑘)8
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 𝑘 + 1)]16
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + (2 · 𝑘)0
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 
(1.2.1)
𝑛3
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 𝑘)7
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 𝑘 + 1)]21
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + (3 · 𝑘)0
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 
(1.3.1)
𝑛4
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 𝑘)5
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 𝑘 + 1)]24
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + (4 · 𝑘)0
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 
(1.4.1)
𝑛5
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 𝑘)5
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 𝑘 + 1)]25
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ + (5 · 𝑘)0
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 
(1.5.1)
Bu formularning har biridan k ning 0,1,2,3,4,5 ga teng xususiy qiymatlarida amaliy jihatdan 
qulay formulalar kelib chiqadi. 
(1.1.1) formuladan quyidagi formulalar kelib chiqadi: 
1) 𝑛1 · 𝑛9
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 1)]09
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 
2) 𝑛1
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 1)9
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 2)]19
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 
3) 𝑛1
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 2)9
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 3)]29
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 
4) 𝑛1
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 3)9
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 4)]39
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 
5) 
𝑛1
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 4)9
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 5)]49
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 
6) 𝑛1
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 5)9
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 6)]59
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 
Misollar: 
51 ∙ 59 = [5 ∙ (5 + 1)]09
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 3009
51 ∙ 69 = [5 ∙ (5 + 2)]19
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 3519
51 ∙ 79 = [5 ∙ (5 + 3)]29
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 4029
51 ∙ 89 = [5 ∙ (5 + 4)]39
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 4539
51 ∙ 99 = [5 ∙ (5 + 5)]49
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 5049
51 ∙ 109 = [5 ∙ (5 + 6)]59
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 5559
61 ∙ 129 = [6 ∙ (6 + 7)]69
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 7869
71 ∙ 159 = [7 ∙ 16]89
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 11289
. 
(1.2.1) formuladan quyidagi formulalar kelib chiqadi. 
1) 
𝑛2
̅̅̅̅ ∙ 𝑛8
̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 1)]16
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
2) 
𝑛2
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 1)8
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 2)]36
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
3) 
𝑛2
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 2)8
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 3)]56
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
4) 
𝑛2
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 3)8
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 3)]76
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
93

---

TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI
 
ILMIY AXBOROTLARI 2020/6 
5) 
𝑛2
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 4)8
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 5)]96
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
6) 
𝑛2
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 5)8
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 6) + 1]16
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
7) 
𝑛2
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 6)8
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 7) + 1]36
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Misollar : 
22 ∙ 28 = [2 ∙ 3]16
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 616
32 ∙ 48 = [3 ∙ 5]36
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 1536
32 ∙ 58 = [3 ∙ 6]56
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 1856
32 ∙ 68 = [3 ∙ 7]76
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 2176
32 ∙ 78 = [3 ∙ 8]96
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 2496
32 ∙ 88 = [3 ∙ 9 + 1]16
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 2816
32 ∙ 98 = [3 ∙ 10 + 1]36
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 3136
32 ∙ 108 = [3 ∙ 11 + 1]56
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 3456
(1.3.1) formuladan k ning xususiy qiymatlarida quyidagi formulalar kelib chiqadi: 
1) 
𝑛3
̅̅̅̅ ∙ 𝑛7
̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 1)]21
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
2) 
𝑛3
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 1)7
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 2)]51
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
3) 
𝑛3
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 2)7
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 3)]81
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
4) 
𝑛3
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 3)7
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 4) + 1]11
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
5) 
𝑛3
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 4)7
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 5) + 1]41
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
6) 
𝑛3
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 5)7
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 6) + 1]71
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Misollar: 
23 ∙ 27 = [2 ∙ 3]21
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 621
103 ∙ 107 = [10 ∙ 11]21
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 11021
23 ∙ 37 = [2 ∙ 4]51
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 851
103 ∙ 127 = [10 ∙ 13]81
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 13081
43 ∙ 77 = [4 ∙ 8 + 1]11
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 3311
93 ∙ 127 = [9 ∙ 13 + 1]11
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 11811
33 ∙ 77 = [3 ∙ 8 + 1]41
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 2541
83 ∙ 127 = [8 ∙ 13 + 1]41
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 10541
103 ∙ 157 = [10 ∙ 16 + 1]71
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 16171
73 ∙ 127 = [7 ∙ 13 + 1]71
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 9271
(1.4.1) formuladan k ning 0,1,2,3,4 ga teng xususiy qiymatlarida quyidagi formulalar kelib 
chiqadi.
1) 
𝑛4
̅̅̅̅ ∙ 𝑛6
̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 1)]24
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
2) 
𝑛4
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 1)6
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 2)]64
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
3) 
𝑛4
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 2)6
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 3) + 1]04
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
4) 
𝑛4
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 3)6
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 4) + 1]44
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
5) 
𝑛4
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 4)6
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 5) + 1]84
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Misollar: 
44 ∙ 76 = (4 ∙ 8 + 1)44
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 3344
54 ∙ 56 = (5 ∙ 6)24
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 3024
54 ∙ 66 = (5 ∙ 7)64
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 3564
54 ∙ 96 = (5 ∙ 10 + 1)84
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 5184
54 ∙ 156 = 54 ∙ 100 + 54 ∙ 56 = 5400 + 3024 = 8424
6) 134 ∙ 76 = 100 ∙ 76 + 34 ∙ 76 = 7600 + (3 ∙ 8 + 1)84 = 7600 + +2584 = 10184. 
94

---

TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI
 
ILMIY AXBOROTLARI 2020/6 
Yuqoridagi misollardan ko‘rinadiki, baʼzi hollarda ko‘paytuvchilardan birini ikki sonning 
yig‘indisi shaklida yozib olish ham ko‘paytmani hisoblashni osonlashtiradi. 
(1.5.1) formuladan quyidagi formulalarni keltirib chiqarish mumkin. 
1)
𝑛5
̅̅̅̅
2
= [𝑛 ∙ (𝑛 + 1)]25
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
2) 
𝑛5
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 1)5
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 2)]75
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
3) 
𝑛5
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 2)5
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 3) + 1]25
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
4) 
𝑛5
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 3)5
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 4) + 1]75
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
5) 
𝑛5
̅̅̅̅ ∙ (𝑛 + 4)5
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [𝑛 ∙ (𝑛 + 5) + 2]25
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
. 
Misollar: 
75
2
= [7 ∙ 8]25
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 5625
75 ∙ 85 = [7 ∙ 9]75
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 6375
75 ∙ 105 = [7 ∙ 11 + 1]75
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 7875
75 ∙ 115 = [7 ∙ 12 + 2]25
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 8625
. 
Bu misollardan ko‘rinadiki, yuqorida hosil qilingan formulalardan foydalanish ko‘pchilik 
hollarda ko‘paytirish amalini og‘zaki bajarish imkonini beradi. Matematika darslarida 
o‘quvchilarga yuqoridagi formulalarning misol va masalalar yechishga tatbiqlari o‘rgatib borilsa, 
ularning matematik kreativ qobiliyati rivojlanib boradi.