|
,
=
0,
a +
b - l j r i z O
42
(
' 4 a - 4 b
) > 0 demak —
S
4ab
.
I.
Faraz qilaylik, berilgan sonlar uchta boisin. Berilgan:
a, b, с
-
sonlar;
a>
0,
b>
0,
c>
0,
а Ф b
^ c.
a + b + с
_
-li
—;—
I s b ot q i l i s h k e r a k : ---- -----
>ыаЬс.
I s bot i . Faraz qilaylik,
a — x?, b = у>, с = z3
boisin, u holda
=> (x3 + j/3 + z* > 3xyz) => (x3 + у г + z %
- 3xyz > 0 j .
(l)
Agar (1) tengsizlikning o‘rinli boiishi ko'rsatilsa,
a
+ ~+
c
>
l]abc
3
ckanligi ko‘rsatilgan boiinadi:
[(x3 + y 3 + z3 - 3 xyz)> 0] => l(x + y + z f - 3 ( x + y + z ) x
x (лу + x z + yz)] ^ 0 => [(x + у + z) x
x { x 2 + y 2 + z2 - x y + xz + yz)] Z 0.
(2)
(
2
)
dagi birinchi ko‘paytuvchi musbat, shuning uchun ikkinchi ko'pay-
tuvchini musbat ekanligi ko'rsatiladi, (
1
) tengsizlikning musbat ekanligini
ko‘rsatgan boiamiz:
(x2 +y2 +z? - x y + xs+>zj = ^ 2 x 2 +2y2 +2z2 - 2 x y -7 x z-2 y z :) =>
=*
^ [ ( x
-
z f
+
( x
- У )2 +
(y
- Z) 2 ] > ° .
(3)
(3) tengsizlik doimo berilishiga ko'ra musbatdir, agar
x=y=z
boisa, (3)
tengsizlik nolga teng boiadi, bu holda (
1
) tengsizlik tenglikga aylanadi.
a + b + c
з/ ...
Demak,
— -— >\labc
tengsizlik o‘rinli ekan.
II. Faraz qilaylik, berilgan sonlar to'rtta boisin.
B e r i l g a n :
a, b, c, d
— sonlar;
a
>
0
,
b
>
0
, с >
0
,
d
>
0
.
a + b
+
A
+
d
4i—i
j
I s bot qi l i sh ker ak:
---------------- ^
sja b c d .
4
43
I s b о t i .
—- — ^
4аЬс
ga asosan
a + b
c + d
—- — +
2
>
l( a + b \( c + d
a + b + c + d
If a + b
Y
c + d
a + b
> ыаЬ.
c + d
sfcd
2
1 '
1 2
bo'lgani uchun bularni (
4
) ga qo‘ysak:
(4)
2
e
u t t s i i
г
У м .
4
4
Д + Ь + C + rf
4p-—-
Demak, ---- ----- > v
abed
tengsizlik.o‘rinli boMadi.
Endi yuqoridagi tengsizlikni har qanday
n
uchun o'rinli deb, matematik
induksiya metodi orqali umumlashgan
(n
+
1
) hoi uchun isbot giiami?-
^ aj
+ a2 + a2 +... + a„
„
a n+i --
---------------------------------------------------------------------------- —
-
n
al +a2 +a3 +... + a„ + a„+t
„
м я+1,
an * \ - N „
+ e >
£ > 0
bo'lsin
N
— ^ *
° n+l
n+l~
n
+ 1
Л + 1
JVw+, = - i
JV (л + 1 + £
л + 1
=> I
N
„+1 =
+
#i + l Г
( ^ +l Г
1
= f N. +
Г -
+ (Я +
1
) • К ■ - ^ r +... ^
^
Й + 1
)
И+1
> ( c
+1
+
к
-
e)
= Л£ (AT, +
e)
=
N "a n+l;
44
((N n+l
)n+l !>
N n
nan+l
) =* (tf„+1 £
' ф
; ^
) =*
^
N
„+1
^ "+\/al
a2
‘ ' ‘ an+l •
а. + а, + а, + ... + а +
а
,
/-------------
Demak, --------------
3
-
----- ------ =----- ^ >
ф л - . М
^ .
л + 1
2-misol. С nuqta [
AB
] kesmani teng
а
ikkiga bo'ladi.
О
ixtiyoriy nuqta.
О С
vcktorniCM =
a, OB
=
~b
vektorlar orqali
ifodalang (7-chizma).
B e r ilg a n :
[АЩ, O A = a , O B = b
>
A C
CB
=
1
Uc| =
T o p is h k erak :
Q C ~
?
Yechish: shartga ko‘ra:
bo'ladi.
A C
CB
=
1
boigani uchun |ЛС| = —
\AB\
( 1)
Chizmadan:
A C
va
д д
vektorlaming yo‘nalishlari bir xil bo'lgani
uchun
A C = O C - O A ,
(2)
J B = 0 5 - 0 4 ,
(3)
(2) va (3) larni (1) ga qo'yilsa, quyidagi ifodalar hosil bo'ladi:
О С - О А = ^ ^ В - Ш ) ,
0 C = i ( a S + O 4),
О С = - O B + -Q A ,
O C = - \ b + a
|.
2
2
2 [
)
45
8-chizma.
Endi shu kesmani ikkita С va
D
nuqtalar
yordamida teng uch bo'lakka bo'Iaylik.
О
ixtiyoriy nuqta.
ОС
va
AD
vektorlarni
OA
=
a, OB
= 6 vektorlar orqali ifodalang
(8-chizma).
B e r ilg a n :
[AB], O A = a , O B = b
------
1
i
---- -
A C = - A B .
3
T o p is h k erak :
ОС
= ?
Y e c h is h : shartga ko‘ra:
AC _
1
AB
~ 3
AC = — AB,
3
(
1
)
A B
va
A C
vektorlarning yo‘nalishlari bir xil bo‘lganligi uchun
AC
-
O C -O A ,
J
b
=
o b
-
o a
,
(2) va (3) larni (1) ga qo‘ysak:
(
2
)
(3)
o c
-
o a
= ^ (
o b
-
o a
),
0 C = - ( 0 B + 20A ),
ОС =
-
OB
+ —
OA,
3
3
0 C = U b + 2 a).
Endi shu
{AB}
kesmani
C, D, E,
... nuqtalar yordamida teng
n
ta
bo‘lakka bo'laylik. 0 — tekislikning ixtiyoriy nuqtasi bo‘Ism (9-chizma).
ОС
vektomi
OA
=
a, OB = b
vektorlar orqali ifodalang.
B e r ilg a n :
[AB],
l f £ l i
OA = a, O B = b,
| л 5 |
n'
46
k o‘ra:
T o p is h kerak:
O C =
?
Y e c h i s h :
shartga
\ AC\
1
\AB\
n
AC
AB
vektorlarning
yo‘nalishlari bir xil bo‘lganligi uchun
~AC = O C - O A
,
A B = O B - O A ,
(2) va (3) larni (1) ga qo‘ysak:
9-chiz/na.
O C -O A = -{O B -O A ),
ОС = i (OB + ( « -
1
)
0 4
).
О С =
—I 6+
(n
- l ) o
n
(
2
)
(3)
7-§. Abstraksiyalash metodi
О‘qitish jarayonidagi ilmiy izlanish metodlaridan biri bu abstrak-
siyalashdir. Abstraksiyalash — o'rganilayotgan obyektdagi narsalarning
muhim belgilarini, sifat yoki xususiyatlarini fikran ajratib olib ana shu
belgi, sifat yoki xususiyatlarni mustaqil fikr obyektiga aylantirishdan
iborat tafakkur operatsiyasidir.
1-misol. 0 ‘qituvchi abstraksiyalash metodini o ‘quvchilarga 3-5=15 mi
sol orqali tushuntirishi maqsadga muvofiq. Ma’lumki, bu oddiy matematik
tenglikdir, ammo u obyektiv olamdagi ma’lum bir qonuniyatlarni aks
ettiradi. Agar 3-5=15 tenglikka ma’lum bir shartlarni qo'yilsa, u holda bu
tenglik quyidagi qonuniyatlarni ifodalaydi:
Agar 3 sonini qalamlarning soni, 5 sonini har bir qalamning qiymati
desak, u holda 15 soni jami qalamlarning qiymatini (qancha turishini)
ifodalaydi.
Agar 3 sonini odamning piyoda yurgan vaqti,
5
soni uning bir soatdagi
tezligi desak. u holda 15 soni piyoda odamning 3 soat ichida bosib o'tgan
yoiini ifodalaydi.
47
2- misol. Fizika kursida jismning harakat tezligi tushunchasini
v = v + a t
formula bilan, metall sterjen uzunligini qizdirilgandagi o‘zgarishini
1 = 1 + at
formula bilan, chiziqli funksiyaning burchak koeffitsiyentli formulasini esa /
(x)— ax +
b
bilan ifodalaymiz. Agar bu formulalarga diqqat bidan qarasak,
vt= v + a t
va
l = l 0+at
formulalar
f(x)~ ax +
b
chiziqli funksiya formulasining
fizikada yozilishi ekanligini ko'ramiz.
Yuqoridagi misollardan ko'rinib turibdiki, abstraksiyalash usulida narsa
larning aniq holatidan uzoqlashib, ularning muhim belgilari haqidagina
gap boradi, narsalarning turli ko‘rinishlari bo'yicha fikr yuritilmaydi. 0 ‘quv-
chilarga abstraksiyalash metodini o'rgatish ularning narsa va hodisalarni
muhim belgilarini ajrata olishlari hamda ilmiy tushunchalarni o‘zlashtirishlari
uchun katta ahamiyatga egadir.
,
8-§. Aniqlashtirish metodi
0 ‘rganilayotgan obyektdagi narsalarning xossalarini bir tom onlam a
xususiy holda fikrlash
aniqlashtirish
deyiladi.
1- misol.
a1 -
b2
=
(a
-
b)-(a
+
b)
bu formulani aniq hollar uchun
quyidagicha qoMlash mumkin:
Do'stlaringiz bilan baham: |
