|
+1
_
sohasi x>l bo'ladi. Berilgan tenglama potensirlansa, ------ j= = --------- =
I
V lg x +
1
yoki ^/Igx +
1
=
2
, ^/ljglc =
1
bundan x =
10
.
197
4-misol.
jc
1+/'sx=100 tenglamani yeching.
Y e c h is h . Bu tenglamadagi noma’lumning qabul qiladigan qiymatlar
sohasi x>0 dir. Tenglikning har ikkala tomoni 10 asosga ko‘ra logarifmlanadi:
/,gx(l+/gx)=lgl
00
.
Agar
Igx-t
desak, /#
100=2
bo'ladi. U holda (l+ /)/= 2 yoki /Ч-t—2=0,
bundan / =
1
,
t = -
2
.
lgx=
1
, bundan x =
10
,
lgx=-
2
, bundan x = - A .
Javobi.
x,= 10,
хг= ~ -
5-misol. ig
y j5 x -4
+ lg
4 x
+1 = 2 + lg б, 18 tenglamani yeching.
Y e c h is h . Bu tenglamaning aniqlanish sohasi 5x~4>0 va x + l> 0 bo'lishi
4
k erak ,
b u n d a n
x> —b o 'la d i.
T en g lam a
p o te n s irla n s a :
■J5x- 4 ylx + l
=
1 0 0
■
0,18
yoki
y [5 x-4 ■
\/x +T = 18. B unda 5x2+ x
41
41
—328=0, bundan x,----- —
va x
2
=
8
, x,=——
bo'lgani uchun yechim
bo'lolmaydi.
Javobi.
x=
8
.
1
2
1 1
6
-misoI. — lg x = — —
— lg x tenglamani yeching.
Y e c h is h . Bu tenglamaning aniqlanish sohasi x>0. Agar
lgx=y
desak,
1
2
1
1
^ 2
У ~ з ~
4
-У’ у2+3у~4=0,
bundan y,= l va ^ = - 4 , u holda
lgx= 1
yoki
1
1
x=10.
lgx=- 4
yoki x
= ^ 4
•
Javobi.
x, = 10, x
2
= ^ 4
•
7-misol.
logpc + log 5
= 2,5.
Y e c h is h . Tenglamaning aniqlanish sohasi x>0 va x*l. Bu tenglamada
logc
b
logarifm asoslarini bir xilga keltirish kerak. Buning uchun
logab=
д
formuladan foydalaniladi:
logs 5 _
1
l0g>
logj x
log
5
x •
- Bu alm ashtirishlarga k o ‘ra tenglam a quyidagi k o 'rin ish n i oladi:
198
logs
x
+
~ - 2,5,
agar
i0giX=y
desak,
yoki
^ +
y1—
2,5y+l=0. Uni yechilsa,
у =2
va
У2~ ^
•
Bularga ko‘ra
logsx=2,
bundan
x=25
va
l o g ^ ^
, bundan
x
= -v/5
•
Javobi:
jc, =25,
x2
= л/5
.
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MISOLLAR
Quyidagi tenglamalami yeching:
1. fex=3 —
lg5.
Javobi: x
= 200.
2.
lO O ^ 20' =
10000
.
Javobi: x
= 80
3.
lg(0,5
+ x) =
lg2 -
Igx.
r
A •
V 33
- 1
Javobi: x
= ---- ----- .
4
4. /g(x+
6
) - 2 = i /g(2x—3) - lg25.
Javobi:
x, = 14, x
2
=
6
.
1
1
,
< 7 -------------(. --------- =
1
.
5 - 4 1 g x
1 + lg x
Javobi: x —
.
1
4
^
5 - 4 lg ( x + l)
' l + lg(x + l)
: 3.
Javobi: x
= 9, x = Vl041 •
7. xx = x .
Javobi: x =
1, x = —1.
8
. x
^ 2
=
1000
.
* " * ■ ' * “
1000
’ * ■
10
9. x = 10
1_0
2Slgx.
Javobi:
^/10000 •
10
. /ogjX + /ogjX = /о^15.
Javobi: x —
5.
11.
logl6x
+
log4x
+
log^x
= 7.
Javobi: x
= 16.
12. log3jt3 = log
3
(3x)J.
Javobi: x
= 1.
13.
logJ T x = 4'
2 5 s-
14. lo g ^ ^ j (2>/x +
6
) = 2.
Javobi: x —
16.
!5- 1оЕз (3 + V
3
+ x ) ) - lo g x 3 -
Г
A-
1
+ ^
Javobi: x
= — - — .
199
lg(x + 4 ) - l g ( x - 3 )
17-
lg
200
—
lg 25
Javob,: x
= 4-
18. %
4
х+ log
^2
* + log
b4
x = 1,75.
Javobi: x = b.
l8 (2 x + 5 ) - l g x = l
] а т Ы : х =
2 + lg 100
4
*
8
20. log3{l + log2[1 + log4(1 + log^ x)]} = 0.
Javobi:
x = 1.
2
21.
log4x + log A
= 2.
Javobi:
x = 4.
22. lo g ^ x + log
3
x - log^ x =
8
.
Javobi:
9.
з
23. log7[x +
log
2(9 —
2X)
+ 4] =
1
.
‘V
Javobi: x
= 0.
,
,
1
24. log
7
log
4
log
3
(x - 7) = 0 .
Javobi:
x= 7 ^ , x= 16.
25.
logjX + 6iogx3
= 5.
Javobi:
x=9, x=27.
26.
Igx
+
lg(x+3)
=
lg2 + lg(
9 -2 \/x
2
+ 3 x - 6 ).
Javobi:
x = 2.
13-§. Parametrli logarifmik va ko‘rsatkichli
tenglamalarni yechish
Param etrli logarifm ik va ko‘rsatkichli tenglam alarni yechish para-
m etrsiz shunday tenglam alardan ana shu p aram etrni qanoatlantiruvchi
tenglam a yechim ini uning y o ‘l qo'yiladigan qiym atlari ich idan izlash
bilan farq qiladi.
2
l-m isol.
loga(a+ J a + x
) = jog
a
tenglamani yeching.
Y e c h i s h . Bu tenglamani yechish uchun aw alo uning param etrini
qanoatlantiruvchi yo‘l qo'yiladigan qiymatlar sohani topiladi:
16. л/logx
4 2 х ■
log2
X
= -1 .
Javobi: x
= ^ .
x >
0
, x *
1
,
a>
0
,
a*\.
loga(a+ j a + x )=logax2
Potensirlash qoidasiga ko‘ra
a+ 4 a T x
= *2
J a + x
=x
2
- a , bunda
x2>a
tenglikning har ikki tom onini kvadratga ko‘tarilsa,
a+x=x*—2ax2+a2,
200
а2—
(
2
х
3
+
1
)а+(л
4
—х
)= 0
bu tenglamani yechilsa,
ai 2
=
- X—
+ ^ ^ .x + ^
hosil bo'ladi:
a= tf+ x+ \
va
a1=x2—x. a= x2+x+l
tenglamaning yechimi yo‘l
qo'yiladigan qiymatlar sohasida yotmaydi, x
2
—a>
0
, x
>0
bo'lgani uchun
a= x2 — x
tenglama yechiladi: x
2
—x - e =
0
, bundan
1 ^ /I
I
ll + 4 a
1 ±л/4д + 1
D
l + V4oTT
1 - %/4o +1
Bulardan: x. = ------ ------- ,
x7 =
-------------- .
2
2
Bu yechim lardan x( = * +
—
tenglam aning y o ‘l qo‘yiladigan
qiymatlar sohasida yotadi, shuning uchun u yechim bo'ladi.
Bu berilgan tenglamaning logarifm xossalari va potensirlashga ko'ra
a = 4a + x = x 2
ko'rinishda yozib olinadi. Bu tenglam aning har ikki
tomoniga x qo'shiladi.
a + x + 4a+ x = x2 + x,
agar
+
Х
=
b
desak,
b2
+
b
= x
2
+ x hosil bo'ladi. Bundan
(x
2
-
b2
j + (x -
b)
=
0
,
(x - b)(x + b) + (x - b) =
0
,
( x -
6
)(x + £ + l) =
0
.
Х+Й+
1*0
bo'lgani uchun
x~b=
0
bo'ladi,
b
ning o'm iga
~Ja
+ x
ni
qo'ysak,
x~ 4a+ !c
= 0 yoki x
2
-x -a = Q bo'ladi. Bu tenglamani yechilishni
yuqorida ко'rib o'tdik.
X X
2
-misol.
a* + b 2 =m(ab)x
tenglamani yeching.
Y e c h is h . Bu tenglamadagi o'zgaruvchining yo‘l qo'yiladigan qiymati
x*
0
.
a)
a-b>
0
bo'lsin, u holda tenglamaning ikkala tomonidagi ifodalarni
I
(a
■
b)x
ga bo'linadi:
201
(m >
0
).
Agar
~ t
desak,
t + - = m
, bundan
fi—tm+\=0
bo'ladi. Bu
I
t
tenglamani yechamiz:
^ _
m ± J m 2
- 4
( a \
i$i±\lm 2
- 4
/ 1 4
~
2
-
\ b ) =- ^ —2
'
(1>
Bunda
m>2
bo'ladi.
a)
m>2
bo'lsin, bu holda (
1
) ning har ikki tomonini
10
asosga ko'ra
logarifmlanadi:
- l g ^ = lg(m±Jm2
- 4 ) - l g 2 , x = ---------
* b).
x
lg
(m
± v / - 4) - lg
2
b)
m
= 2
bo'lsin, u holda (
1
) quyidagi ko'rinishni oladi:
/ V
I
I
bundan: I ^ j =
1
,
ax =bx ; a = b *
0
bo'lishi kerak.
2
) a ■
b = H
bo'lsin.
a)
a=b=
0
bo'lsa, berilgan tenglamaning yechimi bo'lgan barcha sonlar.
b) a=
0
,
btO
yoki a*
0
,
b=
0
bo'lsa, tenglama yechimga ega emas.
Javobi:
1) Agar
m > 2, a * 0, b * 0, a * b
bo'lsa,
Iga - lg
6
x
= —
\ g ( m ± J m 2
—
4)
—
lg
2
2) Agar a) m = 2,
a = b * 0
bo'lsa,
x -
ixtiyoriy son.
b)
a=b=
0
, x
*0
— ixtiyoriy son.
3-misol.
/
-> \ x
/
[ 1 +
a1 )
(1
-
a
\X
+ -------
=
1
tenglamani yeching.
2
a
I
I
2
a
/
\
J
»
Y e c h is h . Bu tenglamadagi a parametming yo‘l qo'yiladigan qiymatlafrf
I
+
a2
sohasi
0
1
bo'ladi. Tenglam aning har ikki tom oni
bo'linadi:
202
2
a
* ° ga
(cos г)* + (sin
z)x =
1
.
(
1
)
(
1
) tenglikning chap tom onida turgan ifodaning y o i qo'yiladigan
n
qiymatlar sohasi
0
bo'ladi, bu oraliqda /(x)=(sinz)x+(cosz)’‘ funksiya
m onoton kamayuvchidir. x
= 2
da /(x )= l bo'ladi, shuning uchun
x=2
bu
tenglamaning yechimi bo'ladi.
x
a2x - 4ax +4
_ ,
4-misol.
a
/ , v
, -----
~ 1
tenglamani yeching.
Va
- 4 < r + 4
Y e c h i s h :
Bu
te n g la m a
m a ’n o g a
ega
b o 'lis h i
u c h u n
\la2x - 4 a x +4 = y](ax
-
Do'stlaringiz bilan baham: |
