O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim

§ 75. Maksvellning ikkinchi tenglamasi yoki to‘la tok qonuni
Doimiy tokning magnit maydon nazariyasida biz asosiy tenglamalar sifatida kuchlanganlik vektori Sirkulyatsiyasi haqidagi teoremani kiritgan edik. Shu teorema ifodasining o‘ng qismida L kontur bilan chegaralangan S sirtdan o‘tuvchi tok berilgan edi.

Doimiy tokda bu tok sirtning shakliga bog‘liq bo‘lmasligi, tok chiziqlarining uzluksizligi bilan tushuntirilgan edi (116a)- rasm). Ikkita ixtiyoriy S₁ va S₂ sirtni bir xil tok, yig‘indi tok kesib o‘tadi.

112-rasm

O‘zgaruvchan tok o‘tganda boshqacha bo‘ladi, ya’ni o‘zgaruvchan tok va u hosil qilgan o‘zgaruvchan magnit maydon Sirkulyatsiyasi haqidagi teorema bajarilmaydi. Masalan kondensatorni olsak, tok kuchi chiziqlari kondensator qoplamalarida uzilishga ega bo‘laydi kondensator orqali tok o‘tmadi, u vaqtda qandaydir kontur L (bilan chegaralangan) sirt (S₁) bilan birga, S₂ sirtdan tok o‘tmadi.

Maksvell magnit maydon Sirkulyatsiyasi haqidagi teoremani “qutqarish” uchun u o‘zgaruvchan tok uchun uni umumlashtirdi va u aytdiki, o‘zgaruvchan tok fazoda magnit maydonini ham hosil qiladi, ya’ni zanjirda tok uzluksiz bo‘lganday, ya’ni tok chiziqlari kondensator qoplamalarida uzilmaydi, qoplamalar orasidan uzluksiz o‘tishi kerak (117 b)-rasm).



117 – rasm

Haqiqatda esa, kondensator ichida tok yo‘q, lekin u yerda o‘zgaruvchan elektr maydoni bor, chunki o‘zgaruvchan tokda zaryadlar

kondensator qoplamalarida vaqt bo‘yicha o‘zgaradi. Demak, Maksvell nazariyasi bo‘yicha o‘zgaruvchan elektr maydoni tokli o‘tkazgichlardagi kabi magnit maydoni hosil qiladi.

Bu nazariyaga matematik tus berish uchun Maksvell siljish toki tushunchasini kiritadi. Siljish toki kiritilishining maqsadga muvofiqligi shundan iboratki, endi magnit maydonining turli manbalari - o‘tkazuvchanlik toki va o‘zgaruvchan elektr maydonini shakll jihatdan

bitta manbaga - to‘la tokka birlashtiriladi.

To‘la tok zichligi ^→j fazoning har bir nuqtasida o‘tkazuvchanlik tok

zichligi j_o‘t va shu nuqtadagi siljish toki zichlik j_silj. larining yig‘indisidan iborat bo‘ladi:

^j^=^jo‘tk. ^+ jcilj. ^,		(75.1)
jcilj.=jo‘tk. tenglikni isbot qilish mumkin.	Siljish tokini	kondensator
maydonining siljish vektori orqali	ifodalaymiz.	Ma’lumki,

S
kondensatorning zaryad sichligi ^{  q}
teng edi. U vaqtda

j  ^I

_ dq dt _ dq 1 _ d

, (75.2)

o'tk. _S

S dS dt dt

Ma’lumki, kondensator uchun E=/₀, bo‘lgani e’tiborga olsak, u vaqtda quyidagi kelib chiqadi:

→ →

D  ₀E   _{, (75.3)}

Bu ifodani e’tiborga olsak, (75.2) quyidagicha bo‘ladi:

j


^→ d

silj. _dt

→

_ dD

dt
(75.4)

Shunday qilib vektor shaklda yozsak:

j


→

silj.

→

d
D

_dt , (75.5)

U vaqtda sirkulasiya haqidagi umumiy teorema quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

H dl 

_jo'tk <sub>

</sub> dD _{ dS}

_ l _ n

L S

 


_ dt _n

, (75.6)

Bu magnit maydon kuchlanganligi Sirkulyatsiyasi haqidagi teoremaning umumiy ko‘rinishi bo‘lib, ixtiyoriy vaqt bo‘yicha o‘zgaruvchan tok va o‘zgaruvchan magnit maydon uchun o‘rinli bo‘lib, Maksvellning ikkinchi bosh tenglamasi deyiladi.

Maksvell tenglamalar tizimiga kiruvchi boshqa tenglamalarni qarab chiqamiz. Maksvellning uchinchi tenglamasi elektrostatikada Gauss teoremasini ifodalaydi.

_ ^{Dnds  qerkin } _ ^dV , (75.7)

S S

Bu teorema yuqorida isbot qilingan edi. Maksvell bu teoremani statsionar va o‘zgaruvchan elektr maydoni uchun ham o‘rinli ekanligini ko‘rsatib berdi.

Maksvellning to‘rtinchi tenglamasi magnitostatik maydoni uchun o‘rinli bo‘lgan Gauss teoremasini o‘zgaruvchan magnit maydoni uchun umumlashtirdi:

_ ^{BdS  0} , (75.8)

S

Bu tenglama moddada magnit zaryadining bo‘lmasligini isbot etadi.

Biz qarab o‘tgan Maksvellning to‘rta tenglamasi moddada elektromagnit maydonni hisoblash uchun yetarli emas. Shuning uchun, ularga muhitning elektr va magnit xossosini xarakterlovchi uchta munosabatni ham qo‘shish kerak:

D=₀E, B= ₀H, j= (E+E^b), (75.9)

Shunday qilib, elektromagnit maydonini ifodalovchi to‘la tenglamalar tizimi to‘rta Maksvell tenglamasidan va uchta munosabatdan iboratdir.