Минор и алгебраическое дополнение

Рассмотрим пример 2

• Решение.

• Ответ:

• Задание.
• Найти алгебраическое дополнение А23 к
• элементу а23

• 1

Теорема о вычислении определителя

• ТЕОРЕМА

• Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

• а11 а12 а13
• a21 а22 а23
• а31 а32 а33

• Пусть задан detA =

• , тогда

• det A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13

• ПРИМЕЧАНИЕ Обычно выбирают ту строку или столбец, в котором есть нули.

• ( 2)

• Разложение определителя по строке

• а11 а12 а13
• a21 а22 а23
• а31 а32 а33

• Пусть задан detA =

• , тогда

• det A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13

• (2)

• = а11 (-1)

• а22 а23
• а32 а33

• 1+1

• А11

• +

• + а12 (-1)

• 1+2

• a21 а23
• а31 а33

• А12

• + а13 (-1)

• 1+3

• a21 а22
• а31 а32

• А13

• Разложение определителя по столбцу

• а11 а12 а13
• a21 а22 а23
• а31 а32 а33

• Пусть задан detA =

• , тогда

• det A = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31

• (2)

• = а11 (-1)

• а22 а23
• а32 а33

• 1+1

• А11

• +

• + а21 (-1)

• 2+1

• a12 а13
• а32 а33

• А21

• + а31 (-1)

• 1+3

• a12 а13
• а22 а23

• А31

Рассмотрим пример 3

• Задание.
• Вычислить определитель, разложив его по первой строке

• Решение.

• Ответ:

Примечание

• Заметим, что понятие минора применяется и по отношению к матрице. Это определитель любой квадратной подматрицы для данной.

• Пусть дана матрица А .

• 7 -1 9
• 0 2 3 -2
• 8 4 6 5

• А =

• Определителя у этой матрицы нет, т.к. она не квадратная, но для нее можно составить очень много миноров

• 3 х 4

• Рассмотрим их

• 7 -1 9
• 0 2 3 -2
• 8 4 6 5

• А =

• 3 х 4

• 7 -1 9
• 0 2 3 -2
• 8 4 6 5

• А =

• 3 х 4

• Миноры 3-го порядка матрицы А

• 7 -1 9
• 0 2 3 -2
• 8 4 6 5

• А =

• 3 х 4

• Образуются с помощью вычеркивания любого из столбца

• 7 -1
• 0 2 3
• 8 4 6

• 7 9
• 0 2 -2
• 8 4 5

• 7 -1 9
• 2 3 -2
• 4 6 5

• -1 9
• 0 3 -2
• 8 6 5

• М3 =

• 1

• М3 =

• 2

• М3 =

• 3

• М3 =

• 4

• Миноры 2-го порядка матрицы А

• Миноры 1-го порядка матрицы А

• 7 -1 9
• 0 2 3 -2
• 8 4 6 5

• А =

• 3 х 4

• 7 -1 9
• 0 2 3 -2
• 8 4 6 5

• А =

• 3 х 4

• Вывод. Минор – это определитель любой квадратной подматрицы для данной.

• М2 =

• 1

• 7
• 0 2

• М2 =

• 2

• 3
• 4 6

• М2 =

• 3

• 9
• 8 5

• Миноров 2-го порядка этой матрицы А по количеству будет еще больше.

• М1 =

• 1

• 1

• М1 =

• 4

• 2

• М1 =

• 5

• 4

• М1 =

• -2

• 3

• = 1

• = -2

• = 4

• = 5

Основные источники

• Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 часть / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )
• Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.
• Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.