Matritsaning rangi. Matritsalarning amaliy masalalarga tadbiqi Reja

Matritsalarni qo’shish va ayirish.
Bu amallarni faqat bir xil o’lchovli matritsalar ustida bajarish mumkin. 𝐴 va 𝐵 matritsalarning yig’indisi (ayirmasi) 𝐴 + 𝐵 (𝐴 − 𝐵) bilan belgilanadi. 𝐴 va 𝐵 matritsalarning 𝐴 + 𝐵 (𝐴 − 𝐵) yig’indisi (ayirmasi) deb shunday 𝐶 matritsaga aytiladiki, 𝐶 matritsaning elementlari 𝑐_𝑖𝑗 = 𝑎_𝑖𝑗 ± 𝑏_𝑖𝑗 dan iboratdir, bu yerda 𝑎_𝑖𝑗 va 𝑏_𝑖𝑗 - mos ravishda 𝐴 va 𝐵 matritsalarning elementlari.
Matritsani songa ko’paytirish.
𝐴 matritsani 𝜆 songa ko’paytmasi 𝜆𝐴 bilan belgilanadi.
𝐴 matritsaning 𝜆 songa 𝜆𝐴 ko’paytmasi deb shunday 𝐵 matritsaga aytiladiki, 𝐵 matritsaning elementlari 𝑏_𝑖𝑗 = 𝜆𝑎_𝑖𝑗 dan iboratdir, bu yerda 𝑎_𝑖𝑗 – 𝐴 matritsaning elementlari. 𝐴 matritsani 𝜆 songa ko’paytirganda hosil bo’ladigan 𝐵 matritsa 𝐴 matritsa bilan bir xil o’lchovli bo’ladi. Hullas, matritsani biror songa ko’paytirish uchun bu matritsaning har bir elementini shu songa ko’paytirib chiqish kerak.
Matritsalarni ko’paytirish.
𝐴_𝑚×𝑛 va 𝐵_𝑛×𝑝 matritsalarning ko’paytmasi deb shunday 𝐶_𝑚×𝑝 = 𝐴 ⋅ 𝐵 (sodda qilib,
𝐴𝐵) matritsaga aytiladiki, bu 𝐶 matritsaning elementlari
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + 𝑎𝑖3𝑏3𝑗+. . . +𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑗
ko’rinishda bo’ladi, bu yerda 𝑎_𝑖𝑗 va 𝑏_𝑖𝑗 - mos ravishda 𝐴 va 𝐵 matritsalarning elementlari. Bundan ko’rinadiki, 𝐴 va 𝐵 matritsalarning ko’paytmasi ma’noga ega bo’lishi uchun 𝐴 matritsaning ustunlari soni 𝐵 matritsaning satrlari soniga teng bo’lishi zarur. Hosil bo’lgan 𝐴𝐵 ko’paytmaning satrlari soni 𝐴 matritsaning satrlari soniga, ustunlari soni esa 𝐵 matritsaning ustunlari soniga teng.
𝐴𝐵 ko’paytmaning mavjudligidan 𝐵𝐴 ko’paytmaning mavjudligi kelib chiqmaydi. 𝐴𝐵 va 𝐵𝐴 ko’paytmalar mavjud bo’lgan taqdirda ham, odatda (ko’p hollarda), 𝐴𝐵 va 𝐵𝐴 ko’paytmalar bir-biriga teng bo’lmaydi: 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴. Agar 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 bo’lsa, u holda 𝐴 va 𝐵 matritsalar o’zaro o’rin almashinuvchi (kommutativ) matritsalar deyiladi.
Ma’lumki, har doim 𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴 𝐵𝐶 tenglik o’rinli.

𝐵𝐶 = 11 ,

𝑛 − tartibli kvadrat matritsa berilgan bo’lsin:
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛
𝐴 =𝑎.21. . 𝑎.22. . .. .. .. 𝑎.2.𝑛.
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 . . . 𝑎𝑛𝑛

Agar 𝐴 matritsaning determinanti noldan farqli
𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛
𝑑𝑒𝑡 𝐴 =𝑎.21. . 𝑎.22. . .. .. .. 𝑎.2.𝑛.≠ 0 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 . . . 𝑎𝑛𝑛
bo’lsa, 𝐴 matritsa aynimagan matritsa deyiladi. Agar 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 0 bo’lsa, 𝐴 matritsa aynigan matritsa deyiladi.
𝐴 matritsaga teskari matritsa 𝐴⁻¹ ko’rinishda belgilanadi. Teskari matritsa tushunchasi faqat aynimagan kvadrat matritsalarga taalluqlidir. Ushbu
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
𝐸 =
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1
kvadrat matritsa birlik matritsa deyiladi.
Ushbu
𝑎11 𝑎21 . . . 𝑎𝑛1
𝐴𝑇 =𝑎.12. . 𝑎.22. . .. .. .. 𝑎.𝑛2. .
𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 . . . 𝑎𝑛𝑛
kvadrat matritsa 𝐴 matritsaga nisbatan transponirlangan matritsa deyiladi.
Aynimagan 𝐴 matritsa berilgan bo’lsin. Agar
𝐴 ⋅ 𝐴⁻¹ = 𝐴⁻¹ ⋅ 𝐴 = 𝐸
bo’lsa, 𝐴⁻¹ matritsa 𝐴 matritsaga teskari matritsa deyiladi. 𝐴 matritsaga teskari 𝐴⁻¹ matritsani topish formulasi:
𝐴11 𝐴21 . . . 𝐴𝑛1
_𝐴−1 ₌𝐴12 𝐴22 . . . 𝐴𝑛2_, . . . . . . . . . . . .
𝐴1𝑛 𝐴2𝑛 . . . 𝐴𝑛𝑛
bu yerda 𝐴_𝑖𝑗 − berilgan 𝐴 matritsaga nisbatan transponirlangan 𝐴^𝑇 matritsaning algebraik to’ldiruvchilari

Matritsaning rangi tushunchasini kiritamiz. 𝐴 matritsada 𝑘 ta satrlar va 𝑘 ta usunlarni ajratamiz, bu yerda 𝑘 soni 𝑚 va 𝑛 sonlarining kichigidan ham kichik yoki teng (𝑘 ≤ 𝑚𝑖𝑛 𝑚, 𝑛 ). Ajratib olingan 𝑘 ta satrlar va 𝑘 ta usunlarning kesishmasida turgan elementlardan tuzilgan 𝑘 −tartibli determinant matritsadan yaralgan minor yoki determinant deyiladi. 𝐴 matritsadan yaralgan determinantlar ichidan noldan farqlilarini ajratib olamiz. Ana shu noldan farqli determinantlar tartibining eng kattasi 𝑨 matritsaning rangi deyiladi
(𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 deb belgilanadi).
Agar 𝐴 matritsadan yaralgan 𝑘 −tartibli determinantlarning hammasi nolga teng bo’lsa, u holda 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 < 𝑘 bo’ladi.