Matritsa rangi. Matritsa rangini hisoblash

0 5

_A 1 ₁ 4

^{: ( 131)} 0¹

10

₇ 5

11⁷
1

1
3 ¹1

3	1	72
1 00	51	120

^~ -3

0 0

7 17

⁴7 17⁵

1
3

₃ 3 _~

₀ 9

^~ : 22¹

: 5

1

₀ 7 ₂₂17

0 5

₀ ~

10 0 ¹ 0 1

_{0 0}~

2 0

1 0 0

⁰ 0 1 2 0

0	0	0	0	~ 0	0	0	0	~ 0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

~

1 0 0 0

0 1 0 0 _.

1.2.3. Teskari matritsa

Ushbu
^a11
_A ^a21

…

^an1
^a12 ^a22

…

^an 2

… a_1n

… a_{2 n}

… …

… a_nn

n - tartibli kvadrat matritsa berilgan bo’lsin.


Amatritsa determinantining algebraik to’ldiruvchilaridan tuzilgan

^A11
^{~ A}12
A
…
^A1n
^A21 ^A22
…
^A2 n
… A_n1
… A_{n 2 .}
… …
… A_nn

matritsa Amatritsaga biriktirilgan matritsa deb ataladi.

4-tahrif. Akvadrat matritsa uchun AB
BA E
tenglik bajarilsa, B matritsa

A matritsaga teskari matritsadeyiladi va u ^{A 1} bilan belgilanadi.

1. 
   teorema.Agar A xos matritsa bo’lsa, u holda ^{A 1} matritsa mavjud bo’lmaydi.
   

Isboti. Amatritsa uchun
AA ¹
E tenglikni qanoatlantiruvchi A ¹
matritsa mavjud

^{bo’lsin deb faraz qilaylik. U holda}det(AA ¹ )
det E
bo’ladi. Bundan matritsalarni

ko’paytirish amalining xossasiga ko’ra
det( AA ¹ )
det A
det A ¹
det E
kelib chiqadi.

Bunda det A 0va det E 1


ekanini hisobga olsak, 0 1 ziddiyat kelib chiqadi. Bu ziddiyat qilingan faraz

noto’g’ri ekanini ko’rsatadi, ya’ni teoremani isbot qiladi.

2. 
   teorema.Har qandayxosmas A matritsa uchun ^{A 1}
   

bo’ladi.
matritsa mavjud va yagona

Isboti. Avval
^{A 1} mavjud bo’lishini ko’rsatamiz. Buning uchun A matritsani

B

A
^~ , det Amatritsaga ko’paytiramiz va determinantning 9 va 10- xossalarini

qo’llaymiz:
^a11
_AB ^a21

…

^an1
^a12 ^a22

…

^an 2
… a_1n
… a_{2 n}

… …

… a_nn


^A21 _…
^A22 _…

… …

^A2 n _…

...

...
...

...

1	0	…	0
0	1	…	0
…	…	…	…
0	0	…	1

.

BA E tenglik shu kabi isbotlanadi.


Demak, A matritsaga teskari matritsa mavjud va u A ¹ B

1 ~

A , ya’ni

_A 1 ^1
A11 ^A12

...

^A1n
^A21 ^A22

...

^A2 n
...

...

...

...

^An1 ^An 2

...

^Ann
(1.2.1)

formula bilan topiladi.

Endi
^{A 1} yagona ekanini ko’rsatamiz. Buning uchun
^{A 1} dan boshqa A matritsaga

teskari C matritsa mavjud bo’lsin deb faraz qilamiz. U holda tahrifga ko’ra AC E bo’ladi.

Bu tenglikning har ikkala tamonini
^{A 1} ga chapdan ko’paytiramiz:

A ¹ AC A ¹ E.

A ¹ A
^E bo’lgani uchun ^EC
A ¹ E, EC
C va
A ¹ E
^{A 1} ekanini hisobga olsak,

C A ¹ kelib chiqadi. Teorema to’liq isbot qilindi.


Teskari matritsaning xossalarini keltiramiz:

1^o.
det A ^1
; 2^o.( A
B) ¹ B
A ¹ ;
3^o. ( A ¹ )^T
( A^T ) ¹ .

Misol

2

0 .

1

matritsaga teskari matritsani topamiz. Bu matritsa uchun:

1 2 1

2 0 1

1 1

3 0 .

determinantining algebraik to’ldiruvchilarini aniqlaymiz:

^A11
0 1
_{1 1} 1, A₂₁

2 1 2 1

_{1 1} 3, A_{31 0}

^A13

1

2 0 _2,

1

22
^A23

1 1 1

2 1 ^{3, A32} 2 1

₁ 1

_{2 1} 33 _{2 0}

Teskari matritsani (1.2.1) formuladan topamiz:

1 3 2 ¹

A ^{1 1} 0 3 3 1 .

^{3 2 3 4} 1

Teskari matritsani topishning qulay usullaridan biri Jordan-Gauss usuli hisoblanadi. Bu

usulda kengaytirilgan
( AE)
matritsa ustida elementar almashtirishlar bajariladi va ^A matritsa

o’rnida ^E matritsa hosil qilinadi, ya’ni u kengaytirilgan matritsadagi
(E C)
ko’rinishga keltiriladi. Bunda oxirgi

C matritsa ^A matritsaga teskari A ¹ matritsa bo’ladi.

Misol

1 2

3 0

1 4

matritsaga teskari matritsani Gordan-Gauss usuli bilan topamiz.

( A E) _~ ^~

1 2 ¹

1 1 ¹

2

3 0 ₂
0 0

1 _{0 ~}

: (
2

0 1

1 0

0 1

3) _{0 0}
0

1	1	2	1	0	0		1	1	2	1	0	0
1	3	0	0	1	0	^~: 2	0	2	2	1	1	0
2	1	4	0	0	1		0	3	0	2	0	1

3		1
2		2
1		1
2		2
7		3
2		2

3

1 0 ^~

3

1

1 0 3

_~ 0 1 1

1

0

3		1
2		2
1		1
2		2

1 0

⁰ ~ ^{0 1}

3 0 0 1	7		1		0 0 1	7		1		1
	6		2		3	6		2		3

1

₀ 1

0 0 ¹

3
(E A ¹ ).

2		1		1
2 3		0		1 3
7		1		1
6		2		3

Demak,




_A 1