M. Mamadazimov

§. Osmon jismlarining massalarini hisoblash *

Yerning massasi va zichligi. Nyutonning butun olam tortishish qonuni barcha osmon jismlari uchun muhim xarakteristik kattalik – massalarini hisoblashga im- kon beradi. Xususan, bu qonun asosida Yerning massasini hisoblaydigan bo‘lsak, unda Yerning erkin tushish tezlanishi va massasi orasidagi quyidagi bog‘lanishdan foydalanib, shuni yoza olamiz:

g  ^{GM ,}

_R2

bu yerda: M – Yerning massasini; R – uning radiusini; G – gravitatsion doimiylikni xarakterlashini inobatga olib, ularning qiymatlariga (g = 9,8 m/s², R = 6370 km, G = 6,67 · 10^-11N ·m²/kg²) ko‘ra topilgan Yer massasi M = 6 · 10²⁴ kg ni tashkil etadi.

Endi bevosita osmon jismlarining massalarini hisoblashga to‘xtalsak, uni aniqlashda Keplerning Nyuton tomonidan umumlashtirilgan (yoki aniqlashtiril- gan) ushbu III qonunidan foydalaniladi:


1

T

1
^{2 (M  m1)} _ a³ _,


2

a

2
T ² (M _ m₂ ) ³

bu yerda: T₁ va T₂ – Quyosh atrofida aylanuvchi ixtiyoriy ikki planetaning siderik davrlarini (ya’ni Quyosh atrofida haqiqiy aylanish davrlarini); M – Quyosh massasini; m₁ va m₂ – eslatilgan ikki planetaning massalarini; a₁ va a₂ lar esa, mos ravishda, ularning orbitalari katta yarim o‘qlarini ifodalaydi.

Bu qonunning universalligidan foydalanib, shu asosda boshqa biror planeta- ning massasini aniqlash uchun ham Keplerning aniqlashtirilgan III qonunidan foydalaniladi. Bunda massasi topilishi mo‘ljallangan planetaning yo‘ldoshi bilan Yer yo‘ldoshining harakati (davrlari va orbitalarining katta yarim o‘qlari) solishtiriladi, ya’ni

T ² m m _a³

p1 _ pl 1 _{ 1 ,}


a



2

T
² m_ m_{2 3}

bu yerda: T_pl va T_⊕ – planeta va Yer yo‘ldoshlarining aylanish davrlarini; m_pl va m_⊕ – planeta va Yerning massalarini; m₁ va m₂ – mos ravishda, ularning yo‘ldoshlarining massalarini; a₁ va a₂ esa planeta va Yer yo‘ldoshlari (tabiiy yoki sun’iy) orbitalarining katta yarim o‘qlarini ifodalaydi.

Odatda, planetalarning massalariga nisbatan ularning yo‘ldoshlarining massalari juda kichik bo‘lganidan (Yer va uning tabiiy yo‘ldoshi – Oy bundan mustasno), m₂ o‘rniga Yer yo‘ldoshining massasini olsak, u holda m_pl >> m₁, m_⊕ >> m₂ deb yozish mumkin. Unda yuqoridagi formula (m₁ va m₂ hisobga olinmaganda)

^m  ^a ^{3  T }2

^pl _{ } 1 _{  }  _

^{m  a2 }  ^Tpl 

ko‘rinishni oladi, bu yerda T_⊕ va T_pl hamda a₁ va a₂ parametrlar, mos ravishda, planeta va Yer yo‘ldoshiga tegishli.

T

a
Quyosh massasini ham Yer massasi birliklarida shu yo‘l bilan oson hisoblash mumkin:

2


T


2

s.y.

_ M _  m_{ }

^m ^{ m}s.y.

3

a


3

s.y.

dan

^{M } T <sup>

</sup> a ^3

^ a ^3

^ T ^2

 _{ }

^  ^ 

^ _ yoki M _  _{ a} ^

 ^  _T 

_  m_

^m  ^Ts.y. 

 ^as.y. 

 ^s.y. 

 ^s.y. 

ifodadan foydalaniladi, bu yerda: M_ʘ va m_⊕ – Quyosh va Yer massalarini; T_⊕ va a_⊕ – Yerning Quyosh atrofida aylanish davri va orbitasining katta yarim o‘qini; T_s.y.va a_s.y. lar esa Yer sun’iy yo‘ldoshining davrini va orbitasining katta yarim o‘qini ifodalaydi.

8. MAVZU. 27-§. Ikki jism masalasi. Kosmik tezliklar

Nyuton, tabiatda butun olam tortishish qonuni mavjudligi tufayli planetalar Kepler qonunlariga ko‘ra Quyosh atrofida aylanishlarini isbotlagan. Bu qonunlar Nyuton tomonidan yanada aniqroq ko‘rinishga keltirildi. Aniq sharoitlarda biror jism boshqa jismning tortishish maydonida Kepler ta’kidlaganidek, faqat ellips bo‘ylabgina emas, balki aylana, parabola va giperbola kabi konus kesimlarini beruvchi egri chiziqlar bo‘yicha ham harakatlanishini isbotladi.

Xususan, u massasi Yernikidek bo‘lgan bir jinsli, ideal sferik shakldagi jism- ning sirtidan ma’lum boshlang‘ich tezlik bilan gorizontal yo‘nalishda uloqtirilgan jism (33-rasm) Yerning tortishish maydoni ta’sirida uning atrofida Yer radiusiga teng masofadagi aylanma orbitaga chiqarilishi mumkinligini uqtirdi. Bunda boshlang‘ich tezlikning kattaligi Yerning radiusi va massasiga bog‘liq bo‘lib,

ushbu _υ0 _
Yer

formuladan topiladi. Bu yerda G – gravitatsion doimiy-

Nm²

Asimptota

¹ 2

lik bo‘lib, uning qiymati 6,67 · 10¹¹

_kg2 bilan xarak- ⁶ ₃

5

s
terlanadi. Yerning R_⊕ – o‘rtacha radiusi 6370 km, M_⊕ – massasi 6 · 10²⁴ kg ga teng. Bu kattaliklarni formulaga qo‘yib hisoblaganda υ₀ boshlang‘ich tezlik 7,91 ^km ga teng bo‘lib, u Yer uchun birinchi kosmik tezlik deb

yuritiladi. Bu degani, atmosferasi yo‘q, massasi Yerdek bir jinsli, ideal sferik shakldagi jism sirtidan gorizontal yo‘nalishda birinchi kosmik tezlik bilan ko‘tarilgan raketa, uning atrofidagi aylanma orbitaga chiqa olishini bildiradi. Aslida Yer atmosferasi mavjudligi bois undan

h = 150 km dan kam bo‘lmagan balandlikka gorizontal

4
Oy orbitasi

yo‘nalishda chiqqan jismning tezligi ^

ga teng bo‘lgandagina u

Yerning sun’iy yo‘ldoshi aylana bo‘ylab harakatlanadi (33-rasmda – 1 bilan ko‘rsatilgan).

Bordi-yu Yer sirtidan ko‘tarilgan sun’iy yo‘ldoshning boshlang‘ich tezligi birinchi kosmik tezlikdan katta bo‘lsa, sun’iy yo‘ldosh orbitasining shakli ellips korinishida bo‘ladi (33-rasmda – 2, 3, 4). Boshqacha aytganda, boshlang‘ich

tezlikning qiymati ^{0 }

erishgandan so‘nggina, sun’iy yo‘ldosh Yer

atrofida unga nisbatan parabolik trayektoriya bo‘ylab harakatlanadi (33-rasmda –

5). Bunday tezlikning kattaligi 11,2 ^km , ya’ni (7,91 × 1,41) ^km bo‘lib, u

ikkinchi kosmik tezlik deyiladi. ^{s s}


s
Sun’iy yo‘ldoshning boshlang‘ich tezligi 11,2 ^km dan ortgach, u Yerga

nisbatan giperbolik trayektoriya bo‘ylab harakatlana boshlaydi (33-rasmda – 6). Bunday sun’iy yo‘ldosh Yerdan cheksizlikda harakatlanayotib, uning trayektoriyasi giperbolaning asimptotasiga yaqinlashib boraveradi. Binobarin, uning cheksizlikdagi trayektoriyasini to‘g‘ri chiziqli trayektoriya deb qarash mumkin bo‘ladi.

Bunda gap ikki jism (Yer va atrofida geosentrik trayektoriya bo‘ylab harakatlanuvchi yo‘ldoshi) ustida ketib, Quyosh sistemasining boshqa planetalari, hatto Quyoshning ham, Yer yaqinida harakatlanayotgan jismga (jumladan, sun’iy yo‘ldoshga) ta’siri tufayli sun’iy yo‘ldoshning oladigan chetlantiruvchi tezlanishi Yer ta’sirida olayotgan tezlanishidan juda kichik bo‘ladi. Bunda tortishish maydonida harakatlanayotgan jism trayektoriyasining fokusida joylashgan ideal sferik shakldagi bir jinsli jismning gravitatsiya maydoni alohida xossaga ega bo‘lgan tortishishning markaziy maydoni nomi bilan ataladi. Tortishishning markaziy maydonini beradigan jismning massasi uning markazida nuqtasida mujassamlashgan deb qaraladi.