Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient

11-12-Ma’ruza.
Mavzu: Toʻla differensial. Koʻp oʻzgaruvchili murakkab funksiyaning xususiy va toʻla differensiali. Yuqori tartibli xususiy hosilalar. Yuqori tartibli differensiallar.
Reja:

• 
  Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari.
  
• 
  Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient.
  
• 
  Ikki o‘zgaruvchili funksiya differensiallari va ularning tatbiqlari.  Yuqori tartibli differensiallar.
  

Bir o‘zgaruvchili funksiya xususiyatlarini o‘rganishda va juda ko‘p masalalarni yechishda funksiyaning hosilasi muhim ahamiyatga ega ekanligini ko‘rib o‘tgan edik. Shu sababli bu tushunchani ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun ham aniqlash masalasi bilan shug‘ullanamiz. Bunda ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun kiritiladigan tushunchalar va keltiriladigan tasdiqlar deyarli o‘zgarishsiz ikkidan ortiq o‘zgaruvchili funksiyalar uchun ham umumlashtirilishi mumkinligini yana bir marta ta’kidlab o‘tamiz.
2.1. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Bir o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi ∆f funksiya orttirmasining ∆x argument orttirmasiga nisbatining ∆x→0 bo‘lgandagi limiti kabi aniqlanishini eslatib o‘tamiz. Ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun ham hosila tushunchasini shunday tarzda kiritamiz.
Berilgan z=f(x,y) funksiya biror D sohada aniqlangan va M(x,y) shu sohaning ichki nuqtasi bo‘lsin. Bu nuqtaning x abssissasiga x orttirma berib, y ordinatani o‘zgartirmay qoldiramiz. Bunda hosil bo‘ladigan N(x +x,y) nuqta ham D sohaga
tegishli deb hisoblaymiz. Bu holda z=f(x,y) funksiyaning o‘zgarishi
_x f = f (x+x , y) – f (x, y),
ya’ni x argument bo‘yicha xususiy orttirma orqali ifodalanadi.
1-TA’RIF: Agar z=f(x,y) funksiyaning х bo‘yicha _х f xususiy orttirmasining x argument orttirmasiga nisbati x→0 bo‘lganda chekli limitga ega bo‘lsa, bu limit qiymati funksiyaning x bo‘yicha xususiy hosilasi deb ataladi. Bu hosila
z_x , f_x , f_x(x,y), ^z , ^f
x x
kabi belgilardan biri bilan belgilanadi. Bunda indeks yoki maxrajdagi x belgi hosila x argument bo‘yicha olinayotganligini ifodalaydi. Ta’rifga ko‘ra
f ^x f lim ^{f (x  x, y)  f (x, y)} . (1)
 lim 
x x0 x x0 x
Bu yerda _x f xususiy orttirma faqat x hisobiga o‘zgarib, unda y o‘zgarmas bo‘ladi. Shu sababli f_x xususiy hosila bir x o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi singari aniqlanadi. Bundan z=f(x,y) funksiyaning x bo‘yicha xususiy hosilasini hisoblashda ikkinchi y o‘zgaruvchini o‘zgarmas son kabi qarash kerakligi va oldin ko‘rib o‘tilgan hosilalar jadvali hamda differensiallash qoidalaridan foydalanish mumkinligi kelib chiqadi.
Masalan,
f (x, y) 3x²sin y  5xy  y²  f_x(x, y)  (3x²sin y  5xy  y²)_x 
 (3x²siny)_x  (5xy)_x  (y²)_x 3siny(x²)_x  5y(x)_x  (y²)_x   6xsin y  5y .
Xuddi shunday tarzda z = f (x,y) funksiyaning
z_y , f_y , f_y(x, y) , ^z , ^f
y y
kabi belgilanadigan у bo‘yicha xususiy hosilasi kiritiladi:
f  lim y f  lim f (x, y  y)  f (x, y) . (2)
y y0 y y0 y
Yuqoridagi misolda x o‘zgaruvchini o‘zgarmas deb qarab, y bo‘yicha xususiy hosilani hisoblaymiz: