Designing Sound

4.2 Simple Harmonic Oscillators
45
m
m
m
Energy stored
in mass 1/2 mv
2
m
equilibrium
in static
Rest point
Force on mass = −kx
Force on spring = mg
Displacement
by force F
x
Energy stored
Restoring
force
in spring 1/2 kx
2
Velocity 
Velocity = 0
mg = −kx
Determine stiffness k
Unloaded
Energy stored
in compressed spring
1/2 kx
2
Figure 4.5
Spring-mass oscillation.
which is then written
d
2
x
dt
2
+
kx
m
= 0
(4.4)
There aren’t many equations in this book—we try to avoid them and deal
in “back of an envelope” engineering terms—but I have set this one clearly
because it is possibly the most important and fundamental of them all. This
describes the motion of a mass as a dynamic equilibrium of two forces. Energy
is exchanged between two unstable states. When the mass passes through the
equilibrium position no force will be acting on it, hence the stored, potential
energy will also be zero. It will be at maximum velocity, so all the energy
will be kinetic energy
E
=
mv
2
/
2. At this same instant the acceleration will be
momentarily zero since the mass is neither speeding up nor slowing down. At
its maximum amplitude, at either extreme of movement, the velocity will be
momentarily zero. At that time the acceleration, and the force of the spring,
will be a maximum and so will the elastic potential energy
E
=
kx
2
/
2. The
simplified solution of this differential equation, which expresses
x
in terms of
time
t
and maximum amplitude
A
, is
x
=
A
cos(
ωt
)
(4.5)
where
ω
=
k
m
(4.6)
So the frequency of a mass on a spring depends only on mass and springi-
ness (stiffness
k
). Let’s plug the values for our 10kg mass and spring with
k
= 9800N
/
m into the equation to find its frequency.
ω
=
9800
10
= 31
.
3 rad
/
s
(4.7)
And recalling that
ω
= 2
πf
we get
f
= 6
.
282
×
31
.
3 = 196
.
7Hz.

---