Вязкоупругие пластиновые механические системы с точечными связями и их собственные колебания салиева Олима Камаловна

Постановка задачи. Рассмотрим механическую систему, состоящую из N изотропных вязкоупругих тел, занимающих объем и ограниченных поверхностями . При этом предполагается, что один линейный размер каждого тела намного меньше двух остальных. При каждом n на части поверхности n-го тела заданы однородные граничные условия, на остальной свободной поверхности в конечном числе точек наложены связи кинематического и динамического характера: точечные жесткие, упругие и (или) вязкоупругие шарнирного типа опоры (жесткие опоры могут быть защемлены), жесткие упругие и (или) вязкоупругие амортизаторы, соединяющие тела (при ), сосредоточенные массы . Расположение связей и масс на поверхностях произвольно.
В общем случае диссипативные свойства элементов системы различны. Частным случаем такой структурно неоднородной вязкоупругой системы является система с упругими и вязкоупругими элементами. Для последнего случая , где – количество упругих элементов системы, - количество вязкоупругих элементов. При тела расположены параллельно друг другу свободными поверхностями (пакеты пластин оболочек). При стойки отсутствуют. Требуется определить частоты собственных колебаний вязкоупругой системы, а также оценить ее демпфирующую способность. В математической постановке вязкоупругость выглядит следующим образом. Пусть все точки n–го тела подчиняются гармоническому закону колебаний, т.е.
(1)
где - j-я компонента вектора перемещений n–го тела, J- число компонент вектора перемещений, - радиус-вектор точки n-го тела, - искомая комплексная частота системы, причем - собственная частота, а – коэффициент демпфирования . Поскольку каждая компонента вектора перемещений уже имеет индекс n, то последний для обозначения компонент радиус-вектора в дальнейшем не используется.
Для прямоугольных пластин и
,
для оболочек вращения и
,
где x,y– координаты. Исходя из принципа возможных перемещений, приравняем нулю сумму работ всех активных сил, включая силы инерции на возможных перемещениях :
(2)
где – виртуальные работы внутренних сил тел пружин, а также сил инерции с учетом сосредоточенных масс. Эти работы можно представить следующими соотношениями:

(3)
где –плотность и объем n–го тела, - q-я присоединения масса n– го тела с координатами

– число пружин (амортизаторов) между n–м и (n+1)–м телами, - число сосредоточенных масс на n–м теле, - число упругих (вязкоупругих) опор на n–м теле, - компоненты тензоров напряжений и деформаций соответственно n–го тела, l-й пружины (амортизатора) и –й упругой (вязкоупругой) опоры.
Физические и геометрические соотношения для упругого элемента или упругой связи системы запишем с помощью обобщенного закона Гука

где –интегральные операторы Вольтерра, которые ниже заменяются на один оператор. Выражая по известным формулам через и учитывая, что
,  где
(4)
здесь - мгновенный модуль упругости, а – ядро релаксации.
Учитывая (1), функцией времени в равенстве (4) будет с медленно меняющейся амплитудой. Предполагая малость интеграла , с помощью метода замораживания заменим соотношение (4) приближенным:
где

Это позволяет исключить из вариационного уравнения интегральные члены и, в конечном итоге, время. В символическом виде его можно представить в виде
(5)
Если n-я пластина, l-я пружена и l^/-я опора вязкоупругие, то представляются следующими формулами:

где

- комплексная функция, числовые коэффициенты которой зависят от параметров ядра релаксации соответствующих вязкоупругих элементов,
-
обобщенные мгновенные жесткости соответственно n-й пластины, l-го амортизатора, l^/-й опоры. В упругом случае где - обобщенные жесткости соответственно n-й пластины, l-го пружины, l^/-й опоры.
Необходимо найти спектр комплексных собственных частот
,
где – частоты, а – коэффициенты демпфирования собственных затуханий колебания.