[Введите подзаголовок документа]

1. Саноқ системалари.
ЭҲМ ─ бу электрон рақамли қурилмадир. Электрон қурилма дейилишига сабаб ҳар қандай маълумотлар ЭҲМ да электр сигналлари орқали қайта ишланади. Рақамли дейилишига сабаб ЭҲМ да ҳар қандай маълумот сонлар ёрдамида тасвирланади.

Сонларни ёзиш усулига саноқ системаси деб аталади. Сонларни ёзиш учун ҳар бир саноқ системасида ўзига хос турли белгилар тўпламидан фойдаланилади. Фойдаланилган тўпламдаги белгилар уларнинг сони, саноқ системасини ҳарактерловчи асосий катталиклардир. Саноқ системасида фойдаланиладиган белгилар сони саноқ системасининг асосини ташкил этади. Берилган саноқ системасида сонларни ёзишдаги фойдаланилган белгилар сонига қараб, ўнлик, иккилик, саккизлик, ўн олтилик ва бошқа саноқ системаларни киритиш мумкин. Шу билан бирга саноқ системаларини позицион ва нопозицион турларга ажратиш мумкин. Позицион саноқ системасида берилган соннинг қиймати сонни тасвирловчи рақамларнинг эгаллаган ўрнига боғлиқ бўлади. Мисол сифатида, 0,1,2,3,. . . ,9 араб рақамларидан ташкил топган ўнлик саноқ системани қараш мумкин. Нопозицион саноқ системаларида, белгининг қиймати унинг эгаллаган ўрнига боғлиқ эмас. Мисол сифатида рим рақамлари саноқ системасини келтириш мумкин. Масалан ХХ сонида Х рақами, қаерда жойлашганига қарамасдан ўнлик саноқ системасидаги 10 қийматини англатади.

Қуйидаги жадвалда ўнлик саноқ системасида берилган 1 дан 16 гача сонларнинг иккилик, саккизлик ва ўн олтилик саноқ системаларидаги кўриниши келтирилган.

Бу жадвал бўйича бир саноқ систамасидан иккинчисига ўтиш масаласини кўриб ўтайлик. Масалан: 10 лик саноқ системасидаги 13 сонига 8 лик саноқ системасида 15 сони мос келади ва у 13 ни 8 га бўлинганда ҳосил бўлган бутун сон 1 ва колдиқ 5 лардан ташкил топган. Худди шунингдек 13 ни 6 га бўлганда ҳосил бўлувчи бутун сон 2 ва қолдиқ 1 лар 21 сонини ҳосил қилади. Бу сон 13 сонининг 6 лик саноқ системасидаги қийматидир.

Одатда бирор Х сонининг қайси саноқ системасига тегишлилигини кўрсатиш учун унинг пастида индекс сифатида зарур саноқ системасининг асоси кўрсатилади.

Масалан, Х₆ – Х сонининг 6 лик саноқ ситемасига тегишли эканлигини кўрсатади.

сонининг Х₂-иккилик саноқ системасидаги кўринишини топайлик. Юқоридагидек, 13 ни кетма-кет 2 га бўламиз ва бўлишни то бутун қисмида ноль ҳосил бўлгунча давом эттирамиз.

Ўнгдан чапга тартибида ёзилган қолдиқлар, яъни 1101 сони сонининг иккилик саноқ системасидаги кўриниши бўлади.

Энди 8 лик саноқ системасидан 10 лик саноқ системасига бўлиш йўли билан ўтишга доир мисоллар кўрайлик. Масалан, жадвал бўйича 15₈ га 13₁₀ мос келади. Энди уни топиб курайлик, бунинг учун 15₈ ни 10 лик саноқ системасининг асоси–10 нинг 8 лик саноқ системасидаги кўриниш – 12 га бўлиш керак бўлади. 15₈ ни 12₈ га бўлса бутун қисмида 1 ва қолдиқда 3, яъни 13₁₀ – ҳосил бўлади. Бунга жадвал орқали ишонч ҳосил қилиш ҳам мумкин.

Иккинчи мисол: 175₈ сонини 10 лик саноқ системасидаги кўринишини топиш талаб қилинган бўлсин. Худди юқоридагидек 175₈ ни 12₈ га кетма-кет бўламиз. Эслатиб ўтамиз, бўлиш амали 8 сонлик саноқ системасида олиб борилади. (Жадвалга қаралсин)

1-қоида, Р саноқ системасида берилган сонни Q саноқ системасига ўтказиш учун, Р саноқ системасидаги Х сони Q саноқ системасининг асосига, яъни Q га кетма-кет, то бутун қисмида 0 ҳосил бўлгунча давом эттириш керак. Қолдиқлар ўнгдан чапга караб кетма-кет ёзилса, Р саноқ системасида берилган Х_р сонининг Q саноқ системасидаги Х_q кўриниши ҳосил бўлади. Бўлиш амали берилган Р саноқ системасида амалга оширилади.

Баъзи бир саноқ системаларидан иккинчисига қулайроқ, осонроқ ҳолда ўтиш имкониятлари мавжуд. Хусусий ҳолда, 2 га каррали сонларнинг биридан 2 иккинчисига ўтиш қоидасини кўриб ўтамиз.

Масалан, 8 лик саноқ системасида берилган сонидан Х₂ га бўлиш учун, Х₈ нинг ҳар бир рақамини 2 ликдаги кўриниши-триадалар ( ) билан алмаштириб чиқамиз:

ни 2 лик саноқ системасига ўтказиш учун унинг ҳар бир рақамини 2 лик саноқ системасидаги тўртликлар-тетрадалар билан алмаштирамиз:

Иккилик саноқ системасида берилган сондан 8 лик саноқ системасига ўтиш учун, унинг ўнг томонидан бошлаб ҳар бир учликларни (триадаларни) 8 ликдаги мос рақамлар билан алмаштирамиз. Масалан

Юқоридаги Х₂ сонини 16 лик саноқ системасига ўтказиш учун Х₂ ни ўнг томондан бошлаб тўртликлар (тетрадалар) билан алмаштирамиз.

Энди, ихтиёрий саноқ системасидан ўнлик саноқ системасига ўтишнинг хусусий қоидасини кўриб ўтамиз.

Саккизлик саноқ системасида берилган соннинг 175₈ ўнлик саноқ системасидаги кўринишини Х₁₀ топиш талаб этилсин. Бунинг учун берилган соннинг 8 лик саноқ системасидаги ёйилмасини ёзиб оламиз.

ва 8 лик саноқ системасида эканлигини ҳисобга олиб топамиз.

Худди, юқоридагилардек қуйидаги мисолларни ҳам қуриш мумкин.

Шу пайтгача биз бутун сонларни бир саноқ системасидан бошқасига ўтказиш билан шуғулландик. Каср сонларни бир саноқ системасидан иккинчисига ўтказиш учун, унинг бутун қисми юқорида келтирилган қоида, яъни бўлиш асосида амалга оширилади. Каср қисмини Р саноқ системасидан Q саноқ системасига ўтказиш учун каср сонни Q га кетма-кет кўпайтиришда ҳосил бўлган соннинг бутун кисмлари кетма-кетлиги, берилган сон каср қисмининг Q саноқ системасидаги кўринишини ҳосил қилади. Мисол сифатида ўнлик саноқ системасида берилган сонини 8 лик саноқ системасига ўтказайлик. Берилган соннинг бутун қисми-25₁₀ саккизлик саноқ системасида 41₈ га тенг. Энди каср қисми 0,205 ни 8 лик саноқ системасига ўтказамиз. Бунинг учун уни кетма-кет 8 га кўпайтирамиз ва ҳосил бўлган бутун қисмини чизиқнинг чап томонига ўтказамиз.

0,205 ни 8 га кўпайтирганимизда 1,640 ҳосил бўлади ва унинг бутун қисмини чизиқнинг чап томонига ўтказамиз. Кейин 0,640 яна 8 га кўпайтирамиз ва ҳосил бўлган 5,040 сонининг бутун қисмини чизиқнинг чап томонига ўтказамиз. Кўпайтиришни шу тарзда давом эттирамиз натижада 0,1502₈ сонини ҳосил қиламиз ва бутун қисмини 41₈ ни ҳисобга олиб, берилган сонининг 8 лик саноқ системасидаги кўринишини топамиз:

Шундай қилиб, каср сонни бирор Р саноқ системасидан иккинчи Q саноқ системасига ўтказиш учун каср қисмини Q саноқ системасининг асосига кетма-кет кўпайтириш керак ва бутун қисмида пайдо бўлган рақамлар кетма-кетлиги берилган сон каср қисмининг Q саноқ системасидаги кўринишини ҳосил қилади. Бутун қисми, юқорида зикр этилганидек, бўлиш ёрдамида ҳосил қилинади.

Саноқ системаларида арифметик амалларга доир мисоллар келтирамиз.

Қўшиш ва айириш

2. Математик мантиқнинг информатикадаги роли.

1954 йилда инглиз математиги Джорж Буль ўзининг «Фикрлаш қонунлари» номли китобини чоп этди. У мантиқий алгебранинг асосини ташкил этади. Буль алгебраси ЭҲМ нинг ривожланишида катта рол уйнайди. ЭҲМ яратиш мумкинлигининг асосий ғояси буль алгебрасига асосанган. Бу фикрни тушуниш учун математик мантиқнинг асосий содда тушунчаларини эслайлик. Оддий ҳодисалар ёки мантиқий фикр элементларини А,В,С ... ва мантиқий фикрнинг рост ёки ёлғонлигини эса мос равишда 1 ва 0 билан белгилаш мумкин.

Бу эса ўз навбатида иккилик саноқ системасига мос келади. Агар бир ҳодисанинг юз бериши, иккинчи ҳодисага боғлиқ бўлмаса, бу ҳодиса содда, акс ҳолда мураккаб дейилади. Буль алгебрасига мувофиқ, ҳар қандай мураккаб ҳодиса содда ҳодисаларнинг мантиқий функциясидан иборат. Мантиқий элементлар устида қуйидаги мантиқий амалларни бажариш мумкин: