Волновое уравнение Телеграфное уравнение Малые поперечные колебания струны

Уравнения гиперболического типа
гиперболическим в D, если в D:
Волновое уравнение
Телеграфное уравнение
Малые поперечные колебания струны
В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Натяжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины l в начальный момент направлена по отрезку оси от 0 до l. Предположим, что концы струны закреплены в точках x = 0 и x = l. Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе, то точки струны будут совершать движения − говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.
T
Tx
Ty
х
l
u(t,x)
0
u
T
Tx
Ty
х
l
u(t,x)
0
u
1. Метод Даламбера (метод бегущих волн, метод характеристик)
2. Метод Фурье (метод стоячих волн, метод разделения переменных)
Интерпретация
Моделирование
Моделирование
Интерпретация
Исследование мат. модели
Задачи математической физики для уравнений гиперболического типа
1. Задача Коши
2. Краевые задачи
Первая краевая
Вторая краевая
Третья краевая
Смешанные краевые
Задачи математической физики для уравнений гиперболического типа
1. Метод Даламбера (метод бегущих волн, метод характеристик)
Уравнение характеристик
Начальные условия -∞ < x < +∞
Задача Коши для волнового уравнения
– Формула Даламбера
Для выявления характера данного решения удобно воспользоваться плоскостью состояний (x, t) или «фазовой плоскостью». Прямые x – at = const и x + at = const называются характеристи-ками уравнения. Функция u = f(x – at) вдоль характеристики x – at = const сохраняет посто-янное значение, функция u = f(x + at) постоянна вдоль характеристики x + at = const.
Рассмотрим некоторую фиксированную точку (x0,t0) и проведем из нее обе характеристики x – at = x0 − at0 и x + at = x0 + at0, которые пересекают ось X в точках x1 = x0 − at0 и x2 = x0 + at0 , t=0.
Из формулы Даламбера видно, что отклонение (x0, t0) точки струны в момент времени t0 зависит, только от значений начального отклонения в вершинах, P и Q треугольника ΔMPQ, и от значений начальной скорости на стороне PQ (аналогично, для любого P1Q1.
Если начальная скорость равна нулю, то отклонение u = u1(x, t) есть сумма левой и правой бегущих волн, причем начальная форма каждой волны определяется функцией 0,5φ(x), равной половине начального отклонения.
I,V - колебаний нет;
II – волна движется налево
IV – волна движется направо
III – две волны
Задача 1. Решить задачу Коши для волнового уравнения: