Волновое уравнение Телеграфное уравнение Малые поперечные колебания струны

Решение.
Задача 2. Решить задачу Коши для волнового уравнения
Решение.

• Первая краевая задача. Найти решение волнового уравнения в области 0 < x < l, t > 0, удовлетворяющее начальным условиям:

– задано отклонение каждой точки струны от положения равновесия в момент времени t = 0:
u(x, 0) = f(x), x < 0 < l;

Использование метода Фурье
– заданы скорость каждой точки струны в момент времени t = 0
и граничные условия:
– концы струны x = 0 и x = l жестко закреплены:
Идея метода Фурье (разделения переменных
состоит в том, что решение уравнения ищется
в виде
т.е. функция двух переменных
представляется в виде произведения двух функций,
каждая одной переменной. Найдем частные производные функций
.
В последнем уравнении разделим переменные:
Равенство двух функций разных переменных при всех значениях означает, что каждая из этих функций есть постоянная, поэтому приравниваем каждую из них к некоторой неопределенной пока отрицательной константе (при выборе положительной постоянной решением нашей задачи является тождественный ноль). Из последнего соотношения можно написать два независимых друг от друга дифференциальных уравнения:
Имеем два обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения для них соответственно имеют вид:
;
, отсюда
, отсюда
Тогда общие решения для уравнений примут вид:
Постоянные , С1, С2, С3, С4 определим из граничных и начальных условий. Итак, общее решение волнового уравнения имеет вид
Используем первое граничное условие при x = 0 и t ≥ 0 :
Так как t > 0 произвольное, то С3 = 0.
Используем второе граничное условие при x