Vkb yechimlarini qurish usullari

VKB yechimlarini qurish usullari.

VKB- oddiy differensial tenglamalarni echish uchun Wentsel - Kramers - Brillouin (va Jeffreys) asimptotik usuli hisoblanadi

ℇ=_{ }-q(t) x=0
eng yuqori hosilada Ɛ>0 funksiya eng kichik parametrga ega bo’ladi. Kvant mexanikasida Shredinger toʻlqin tenglamasining taxminiy yechimlarini qurish uchun bu usul 1926-yilda L.Brilouin, G.Ventsel va X.Kramers (N.Kmers), shuningdek, X.Jefris (N.Jefris) tomonidan kiritilgan. (batafsil tarixiy insho va bibliografiya uchun [5], [6] ga qarang). VKB uchun - m. boshqa nomlar ham qo'llaniladi: "Liouville-Green yaqinlashuvi", "fazali integral usuli", "kvazi-klassik yaqinlashish", shuningdek, W, K, B (va J) harflarining har qanday kombinatsiyasi.
I=[a,b], q(t) € _{ } (I) va Re_{ } yoki t _{ } yoki q(t)<0 yoki t _{ } I keyin tenglamaning yechimlari mavjud (1) yoki Ɛ_{ }0 bir xil t_{ 
 }(t, Ɛ)_{ }(t, Ɛ) (1+_{ }(t)), j=1,2,
Va
_{ } d _{ }). (2)
Asimptotikning yetakchi atamasi kengaytmalar (2) odatda deyiladi. WKB yaqinlashuvi.
I=(0,+_{ } bo’lsin, q(t) da oldingi shartlar bajariladi va

Keyin (1) tenglamaning shunday yechimlari mavjud
_{ }(t, Ɛ)_{ }(t, Ɛ) (1+ Ɛ _{ }(t, Ɛ)), j=1,2,
_{ } yoki t_{ }, 0_{ } agar _{ }>0

etarlicha kichik va

_{ } yoki t_{ } bo’ladi
_{ }nuqtasi chaqirildi. (1) tenglamaning burilish nuqtasi, agar q(_{ })=0 bo’lsa,
WKB yaqinlashuvi burilish nuqtalarida mos emas. Asimptotik usulda olingan. burilish nuqtalari mahallalarida amal qiladigan formulalar (qarang [1], [4]). Asimptotikaning yetakchi atamasi Bessel funksiyalari bilan ifodalanadi.
Bir qator masalalarda (xususiy qiymat masalasi, sochilish masalasi) (1) tenglama uchun yechimlarning asimptotikasini faqat interval oxirida bilish talab qilinadi, ya’ni asimptotikani topish shart emas. burilish nuqtalari. Agar q(t) analpt bo'lsa. Agar umuman olganda, WKB formulalarini kompleks tekislik orqali I oraliqning bir chetidan ikkinchisiga qadar kengaytirish mumkin (qattiq asos [2] da keltirilgan). Butun funktsiyalar uchun q(t) VKB yaqinlashuvi (2) Stokes chiziqlari (ya'ni, darajali chiziqlar) bilan chegaralangan C(f) murakkab tekisligining ma'lum hududlarida mos keladi.( Re _{ } =const
burilish nuqtalaridan o'tish). Asimptotik burilish nuqtalari qo'shnilaridan tashqari butun kompleks tekislikda amal qiladigan (1) tenglamaning asosiy yechimlari tizimi formulalari hisolanadi (qarang [2]).
Qisman differensial tenglamalarni WKB yaqinliklari uchun qarang [5], [6], [8] - [10].
Bir o'lchovdagi WKB yechimlari.
WKB usulining eng qiziqarli ilovalari bir o'lchovli masalalar bilan berilgan. Shuning uchun biz bir o'lchovli masalalarni ko'rib chiqish bilan cheklanamiz va Shredinger tenglamasining vaqtga bog'liq bo'lmagan statsionar yechimlarini qidiramiz ((22) - (23) tenglamalar). Bu erda ishlab chiqilgan usul, umuman olganda, Shredinger tenglamasini uch o'lchovda echishga ham xizmat qilishi mumkin, chunki ko'p hollarda burchak va radial o'zgaruvchilarni ajratish orqali bir o'lchamdagi to'lqin tenglamalarini echishga qisqartiradi (IX bobga qarang).
Shredinger tenglamasini qanoatlantiradigan to‘lqin funksiyasi bo‘lsin,
_{ }+_{ }(E-V(x))y=0
Taxmin qilib
Y=_{ }, _{ }
Hatto 1va 2 funksiyalar uchun ham ekvivalent tenglamalar tizimini olamiz

2_{ }

Uzluksizlik tenglamasi (36) integrallashgan va beradi
A=_{ }

Bu ifodani A ni (35) tenglamaga almashtirib, tenglamani olamiz

Bu uchinchi tartibli differensial tenglama biz boshlagan Shredinger tenglamasiga mutlaqo ekvivalentdir.

WKB yaqinlashuvi 4 va 5ni quvvat seriyasida kengayishdan iborat bo’ladi
S=_{ }
bu kengayishni (38) tenglamaga qo'yish va faqat nol tartibli shartlarni saqlash
S_{ }
Ushbu taxminiy tenglamani qiyinchiliksiz integrallash mumkin. Ikki holatni ajratib ko'rsatish kerak:
_{ }(x)=_{ }.
Bo'lyapti
Keling, to'lqin uzunligini aniqlaymiz:
Y(x)=_{ }cos(_{ }+_{ })
Agar WKB yechimi tebranish funksiyalarining chiziqli birikmasi bo‘lsa, (40) tenglama bajariladi.
Y(x)=_{ }cos(_{ }+_{ })
(ixtiyoriy konstantalar).
Bo’lsin 8 (klassik zarralar uchun taqiqlangan hudud).
Bo'lsin
_{ }(x)=_{ }.
(40) tenglama bajariladi, agar WKB yechimi haqiqiy koʻrsatkichlarning chiziqli birikmasi boʻlsa.
Y(x)=_{ }⌈_{ }.