Viii bob. Integral hisob

Kvadrat uchhadli integrallarni hisoblash. Endi kvadrat uchhad qatnashgan ayrim aniqmas integrallarni hisoblash masalasini ko‘rib chiqamiz.

Dastlab ushbu integrallarni qaraymiz:
.
Avvalo maxrajdagi kvadrat uchhaddan to‘liq kvadratni ajratib olamiz:

.
Bu yerda

belgilash kiritilgan. Bunda, agar kvadrat uchhad diskriminanti D=b²–4ac>0 , ya’ni uning ildizlari haqiqiy sonlar bo‘lsa, k² manfiy ishora bilan; D<0 bo‘lsa k² musbat ishora bilan olinadi. Ikkala holda ham k≠0 bo‘lishini ta’kidlab o‘tamiz. D=0 holni keyinchalik ko‘ramiz.
Yuqoridagi tenglik asosida I₁ integralni o‘zgaruvchilarni almashtirish usulida quyidagi ko‘rinishga keltiramiz:
.
Bu tenglikning o‘ng tomonida jadval integrali turibdi va

ekanligini eslatib o‘tamiz.
Bu ko‘rinishdagi integrallarni hisoblashga misollar keltiramiz.
1.
.


2.
.
Endi D=0 bo‘lgan holni qaraymiz. Bu holda k=0 va


natijaga ega bo‘lamiz.
Xuddi shunday tarzda a>0 va k≠0 bo‘lganda


,
a>0 va k=0 bo‘lganda esa


natijalarni olamiz.
Masalan,


.
Endi a<0 holni ko‘ramiz. Bu holda kvadrat uchhad diskriminanti D>0 deb olishimiz kerak, chunki aks holda barcha nuqtalarda ax²+bx+c≤0 va I₂ integral ostidagi funksiya aniqlanmagan bo‘ladi. Bu shartda

.
Endi umumiyroq ko‘rinishdagi quyidagi integrallarni qaraymiz:
.
Oldin I₃ integralni hisoblash yo‘lini ko‘rsatamiz:

.
Bu yerda I₁ yuqorida ko‘rib o‘tilgan integraldir va uni hisoblashni bilamiz.
Misol sifatida ushbu integralni qaraymiz:

.
I₄ integral ham shu kabi hisoblanadi:

.
Bu yerdagi I₂ integralni hisoblash usuli yuqorida ko‘rsatilgan edi.
I₄ ko‘rinishdagi integralni hisoblashga misol keltiramiz:

.
XULOSA
Differensiallash amaliga nisbatan integrallash amali ancha murakkabdir. Hatto ayrim elementar funksiyalarning aniqmas integrallari elementar funksiyalar sinfida mavjud bo‘lmasdan, ular maxsus (noelementar) funksiyalar orqali ifodalanadi. Bundan tashqari ixtiyoriy aniqmas integralni hisoblashga imkon beradigan universal, umumiy usul mavjud emas. Shu sababli faqat ayrim , ma’lum bir xususiyatlarga ega bo‘lgan, aniqmas integrallarni hisoblash usullarini ko‘rsatish mumkin. Ularga yoyish, differensial ostiga kiritish, o‘zgaruvchilarni almashtirish va bo‘laklab integrallash usullari kiradi.
Ko‘rsatilgan usullardan foydalanib kvadrat uchhad qatnashgan ayrim aniqmas integrallarni hisoblash mumkin.


Tayanch iboralar

* Yoyish usuli * Diffеrеnsial ostiga kiritish usuli * O‘zgaruvchilarni almashtirish usuli * Bo‘laklab integrallash usuli * Kvadrat uchhadli integrallar

Takrorlash uchun savollar

1. 
   Elementar funksiyalarning integrali har doim ham elementar funksiyadan iborat bo‘ladimi?
   
2. 
   Elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydigan integrallarga misol keltiring.
   
3. 
   Yoyish usulida integral qanday hisoblanadi?
   
4. 
   Integralni yoyish usulida hisoblashga misol keltiring.
   
5. 
   Diffеrеnsial ostiga kiritish usulining mohiyati nimadan iborat?
   
6. 
   Diffеrеnsial ostiga kiritish usulining tatbig‘iga misol ko‘rsating.
   
7. 
   O‘zgaruvchilarni almashtirish usuli nimadan iborat?
   
8. 
   Almashtirma deb nimaga aytiladi?
   
9. 
   Aniqmas integralni o‘zgaruvchilarni almashtirish usulida hisoblashga doir misol keltiring.
   
10. 
    Bo‘laklab integrallash formulasi qanday ko‘rinishda bo‘ladi?
    
11. 
    Bo‘laklab integrallashda qanday hollar bo‘lishi mumkin?
    
12. 
    Qanday ko‘rinishdagi aniqmas integrallarni bo‘laklab integrallash usulida hisoblash mumkin?
    
13. 
    Kvadrat uchhadli I₁ integral qanday ko‘rinishda bo‘ladi?
    
14. 
    Kvadrat uchhadli I₁ integral qanday hisoblanadi?
    
15. 
    Kvadrat uchhad qatnashgan I₂ integral qanday ko‘rinishga ega?
    
16. 
    Kvadrat uchhad qatnashgan I₂ integral qanday hisoblanadi?
    
17. 
    Kvadrat uchhadli I₃ integral qanday hisoblanadi?
    
18. 
    Kvadrat uchhad qatnashgan I₄ integral qanday qilib I₂ integral ko‘rinishiga keltiriladi?
    
19. 
    Kvadrat uchhadli integrallar qanday funksiyalar orqali ifodalanadi?
    

Testlardan namunalar

1. 
   Aniqmas integralni hisoblashning qaysi usuli mavjud emas?
   

A) ko‘paytirish usuli; B) o‘zgaruvchini almashtirish usuli;
C) differensial ostiga kiritish usuli; D) yoyish usuli;
E) bo‘laklab integrallash usuli.

2. 
   integralni yoyish usulida hisoblang.
   

A) ; B) ; C) ;
D) ; E) .

3. 
   aniqmas integralda x=j(t) almashtirma bajarilganda u qanday ko‘rinishga keladi?
   

A) ; B) ; C) ;
D) ; E) to‘g‘ri javob keltirilmagan.

4. 
   integral qaysi almashtirma orqali jadval integraliga keltiriladi?
   

A) t=x² ; B) t=x³ ; C) t=x⁴ ; D) t=x⁵ ; E) t=x⁶ .

5. 
   Qaysi tenglik bo‘laklab integrallash usulini ifodalaydi?
   

A) ; B) ;
C) ; D) ;
E) to‘g‘ri javob keltirilmagan.

6. 
   integralni hisoblash uchun integral ostidagi ifodani qanday bo‘laklash kerak?
   

A) u=x, dv=xlnxdx ; B) u=x², dv=lnxdx ; C) u=lnx, dv=x²dx ;
D) u=xlnx, dv=xdx ; E) u=x²lnx, dv=dx .


Mustaqil ish topshiriqlari

1. 
   aniqmas integralni yoyish usulida hisoblang:
   
2. 
   Ushbu aniqmas integralni invariantlik xossasidan foydalanib hisoblang:
   

;

3. 
   Ushbu aniqmas integralni o‘zgaruvchilarni almashtirish usulida hisoblang:
   

;

4. 
   Ushbu aniqmas integralni bo‘laklab integrallash usulida hisoblang:
   

.