Vii боб носинусоидал даврий кучланиш ва токлар

7.7. Даврий чекланган носинусоидал эгри чизиšлар.
Пульсация. Модуляцияланган тебранишлар

Бир даврий тебранишига бошšа даврий тебранишнинг таъсири натижасида олинган тебраниш эгри чизиšлари д а в -р и й ч е к л а н г а н э г р и ч и з и š л а р дейилади. Бу тебранишлар ташšи белгилари ва даврийлик хусусиятлари жихатидан носинусоидал функцияларнинг алоќида турини ташкил этади. Мисол тариšасида пульсацияни ва амплитудаси бœйича модуляцияланган синусоидал тебранишларни кœриб чиšамиз.

1. П у л ь с а ц и я . Пульсация-амплитудалари бир-бирига тенг бœлган, аммо частоталари œзаро яšин, лекин тенг бœлмаган (₁>₂) синусоидал тебранишларнинг бир-бирларига устма-уст тушиши натижасида олинган даврий тебранишларнинг мураккаб тури ќисобланади. Пульсация эгри чизиђи ваšт жиќатидан šуйидаги šонун асосида œзгаради:


(7.16)

Тригонометрик функцияларга оид дан фойдаланган ќолда (7.16) ни šуйидаги кœринишга келтирамиз:
(7.17)
бунда: - функция f(t) нинг оний šийматини œзгартирадиган бурчак частота; - носинусоидал f(t) нинг асосий тœлšинининг амплитудасини œзгартирадиган бурчак частота.
Шундай šилиб, миšдори жиќатидан даврий œзгарувчан кœпайтувчи сos t ни амплитудаси 2А_m га тенг бœлган эгри чизиš f(t)нинг ваšт жиќатидан œзгарувчан коэффициенти деб šаралади.
Натижавий эгри чизиš (7.3-а расм) даври ва тебраниш амплитудаси косинусоида 2A_mсost билан чекланган синусоидани ифодалайди. f(t) функция f(t) даврий бœлиб, ќар бир тенг Т_п ваšтдан сœнг, sint функциясининг аргументидан šатъи назар нолдан œтади, чунки ва ќаказо онларда функция яъни нолга тенг. Пульсация даври деб аталадиган худди шундай ваšт оралиђидан сœнг f(t) функция œзининг максимал амплитудаси 2А_m га эришади. Šœшиладиган синусоидаларнинг частоталари ₁ ва ₂ œзларининг миšдорлари жиќатидан бир-биридан šанчалик кам фарš šилса, пульсация даври Т_п шунчалик катта бœлади.
2. А м п л и т у д а в и й м о д у л я ц и я. Бу œзгармас ₀ частотали синусоидал функция амплитудасини аввалдан берилган А_m(t) šонун бœйича бошšариш демакдир. Ваšт бœйича œзгариш šонуни, яъни А_m(t) амплитуданинг модуляцияси умумий ќолда ихтиёрий бœлиб, даврий ёки даврий эмас. Оддий мисол тариšасида амплитудаси šонун бœйича œзгарувчи f(t)=A_mSin₀t функцияни кœриб чиšамиз:


(7.18)
бунда ₀ - œзгартирилаётган сигналнинг асосий ёки элтувчи частотаси;  - амплитуданинг œз œртача миšдори атрофидаги œзгариш частоатси; m модуляциялаш коэффициенти [0

7.3-б расмда частоталарнинг нисбати ₀ : = 3 ва модуляциялаш коэффициенти m=0,25 бœлган модуляцияланган тебранишларнинг эгри чизиђи кœрсатилган. Модуляцияланган сигналлар ќосил бœлишининг барча амалий ќолларида m<1 бœлгани учун даврий чекланган A_0m(1+m cost) ваšт œšига нисбатан нолдан œтмайдиган бир жуфт симметрик эгри чизиšни ифодалайди. Амплитудавий модуляциялаш алоšа техникасида, радиода, телевидениеда, ахборот узатиш ва объектда бошšариш сигналларини ќосил šилишда энг кœп тарšалган. 7.4-расмда товуш сигналини радиоканал орšали узатишнинг соддалаштирилган блок-чизмаси кœрсатилган. Амплитудавий модуляцияланган товуш тебра-

нишлари юšори частотали синусоидал сигнал тарзида узаткич орšали эфирга тарšалади. Эфирга тарšатилган бу сигнал кейинчалик антенна орšали приёмникнинг L - C тебраниш контурига тушади (1 блок). Узатилаётган сигнал частотаси билан резонансга созланган тебраниш контури бошšа радиосигналлар тœпламидан керакли сигнални ажратиб, уни синусоидал э.ю.к. - e(t) тарзида дастлабки кучайтириш чизмасига узатади. Сœнгра сигнал детекторланади, яъни тœђриланиб, натижада унинг йœналиши œзгармайди ва миšдори пульсацияланувчи бœлади (II блок). Сœнгра сигнал šувват бœйича кучайтирилиб, œзгармас ташкил этувчини ушлаб šолувчи конденсаторли ёки трансформаторли фильтрлардан œтади (III блок). Приёмникка кирган бошланич сигналлар бегона сигналлардан тозаланиши натижасида фаšат фойдали товуш сигнали šолдирилиб у динамикка (радиокарнайга) узатилади.
7.8. Носинусоидал œзгарувчан функция эгри чизиšларини Фурье šаторига ёйишнинг график усули (Чебишев усули).

Маълум шароитда f(t)=f(t+kT) турдаги барча даврий узлуксиз функциялар фаšат аналитик усул билан эмас, шунингдек, график усул билан ќам Фурье šаторига ёйилади. График усулларнинг энг кœп тарšалган турларидан бири, абецисса œšларига нисбатан симметрик бœлган функция эгри чизиšларини ёйишда татбиš šилинадиган Чебишев усулидир. Бу усул синусоидаларнинг šуйидаги хусусиятларига асосланган. Агар a=A_msint синусоиданинг k та тœла даври p та тенг šисмларга бœлинса, у ќолда бœлиниш нуšталаридаги ординаталарнинг алгебраик йииндиси (бунинг учун k/p бутун сон бœлмаслиги шарт) нолга тенг. Масалан, иккита тœла даврли синусоидани бешта šисмга бœлсак (7.5-расм), ординаталарнинг йииндиси (a₁ +a₂ +a₃+a₄+a₅)=0, чунки a₁=-a₄, a₂=-a₃ ва a₅=0. Агар k/p нисбат бутун сон бœлса, бœлиниш нуšталарида нолдан фарš šиладиган œзаро тенг (бунинг учун бœлиниш нуšталари синусоидаларнинг нолли šийматларидан œтмаслиги шарт) ординаталарни оламиз.

Ш
ундай šилиб, координаталар бошига нисбатан šандайдир бурчакка šадар (7.6-а расм) силжиган ихтиёрий ток даврий носинусоидал f( t) функцияни олиб, уни p та тенг šисмларга бœлсак, у ќолда бœлиниш нуšталаридаги ординаталарнинг йиђиндиси фаšат унинг p га тенг ёки унга каррали гармоникалари учун нолга тенг бœлмайди. Мисол учун p бешга тенг, деб фараз šилайлик. У ќолда (7.2) формулага ва 7.6-а расмда бажарилган бœлинишларга биноан, ординаталарнинг йиђиндиси бешинчи ва унга каррали косинусоидалар ординаталарининг йиђиндисига тенг. Энди берилган эгри чизиš f(t) - ни 7.6-а расмда кœрсатилганидек, тœртдан бир даврга суриб, уни яна бешта тенг šисмга бœлсак, у ќолда, ординаталарнинг янги йиђиндиси , œша ташкил этувчилари гармоникалари синусоидалари ординаталарининг йиђиндисига тенг бœлади.
Ихтиёрий симметрик тоš функция

учун бу ќолни умумлаштириб, 7.6-а расмда тасвирланган эгри чизиšнинг šандай гармоникалардан тузилганлигини šу-йидагича аниšлаймиз. t=0 да барча гармоникалар ординаталарининг йиђиндиси M₁=f(0)=C₁ + +C₃+ C₅+ .... =a₅; бу эса эгри чизиšни бир давр ичида бирга бœлиш демакдир. Бунда f(t) эгри чизиšнинг синусли ташкил этувчилари нолга тенг. Эгри чизиš f(t) ни учта тенг šисмга бœлиб, бœлиниш нуšталарида ординаталарининг учта ташкил этувчисини оламиз, уларнинг йиђиндиси эса

бœлади.
Худди шунга œхшаш, эгри чизиš f(t) ни беш, етти, тœššиз ва ќ.к. šисмларга бœлганда тегишли равишда šуйидагиларга эга бœламиз:
,
,
ва ќ.к.
Э
гри чизиš f(t) нинг синусли ташкил этувчиларидаги В₁, В₃, ..., В_k коэффициентларни аниšлаш учун уни координаталар бошига нисбатан /2 бурчакка (ёки тœртдан бир даврга) сурамиз (7.6-б расм). Энди берилган эгри чизиšнинг бир даврини бирга, учга, бешга, еттига, тœššизга ва ќакоза šисмларга бœлганда янги бœлиниш нуšталарида мос равишда šуйидагиларга эга бœламиз:
,
ва ќ.к.
Юšори тартибдаги гармоникаларнинг амплитудалари унчалик катта эмаслигини ќисобга олган ќолда, эгри чизиšларни ёйишнинг етарлича аниšлигини таъминловчи n-тартибли гармоникани šуриш билан чекланамиз. Масалан, к=9 да šуйидаги нисбатларга эгамиз:


булардан k-гармониканинг синусли ва косинусли ташкил этувчиларидаги B_k ва С_k коэффициентларни осонгина аниšлаш мумкин, демак, бу гармоникаларнинг тœла синусоидасига œтиш мумкин:

бунда: n-гармониканинг амплитудаси; n-гармониканинг бошланич фазаси. Бунда А_n дан фарšли, _n фазаси С_n ва В_n ларнинг ишораларига болиš, яъни эгри чизиšни p-та šисмга бœлиш нуšталаридаги координаталарнинг ишораларига бођлиš бœлади.