Векторное произведение векторов. Основные свойства векторного произведения векторов и выражение в координатной форме

Лекция №5. Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический и физический смысл. Векторное произведение в координатной форме. Смешанное произведение векторов, его геометрический и механический смысл. Условие компланарости трёх векторов.
Векторное произведение векторов. Основные свойства векторного произведения векторов и выражение в координатной форме
Векторное произведение векторов и называется вектор удовлетворяющий следующим условиям:

1. 
   модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах и
   

2. 
   направление вектора перпендикулярно плоскости параллелограмма построенного на векторах и ;
   
3. 
   векторы , и после приведения к общему началу ориентированы по отношению друг к другу соответственно как орты
   

Свойства векторного произведения векторов.

1. 
   Векторное произведение не обладает переместительным свойством
   
2. 
   Коллинеарность ненулевых векторов если
   

или или

3. 
   Сочетательное свойство
   

4. 
   Распределительное свойство
   

Если заданы векторы в декартовой системе координат, то их векторное произведение находят следующим образом






Рассмотрим пример. Найти векторное произведение двух векторов


4.6. Применение векторного произведения векторов к решению задач
Площадь параллелограмма построенного на векторах вычисляется по формуле








Площадь треугольника построенного на векторах вычисляется по формуле

Рассмотрим пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках
Найдем координаты векторов и , на которых построен треугольник




Векторное произведение векторов и

Вычислим площадь треугольника



Смешанное произведение векторов. Основные свойства смешанного произведения векторов и выражение в координатной форме
Смешанное произведение векторов.
Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение вектора на вектор т.е.

Обращение в нуль смешанного произведения векторов есть признак компланарности векторов
Смешанное произведение трех векторов по модулю равно объему параллепипеда, построенного на этих векторах.
Свойства смешанного произведения трех векторов.
1. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный

2. Свойство распределительности
3. Свойство сочетательности относительно скалярного множителя
4. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю
Пусть векторы заданы их разложениями по ортам



тогда смешанное произведение векторов

Применение смешанного произведения векторов к решению задач

Из определения смешанного произведения векторов вытекает то, что необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов служит условие

Объем параллепипеда, построенного на векторах и объем образованный ими треугольной пирамиды, находятся по формулам

Рассмотрим пример. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами
Запишем координаты векторов

Найдем искомый объем пирамиды