Vektorning absolyut qiymati (moduli) va yo‘nalishi

3.35. Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi

(a₁, a₂) va (b₁,b₂), vektorlarning skalyar ko‘paytmasi deb,


^. =a₁b₁+a₂b₂ (1)

songa aytiladi. Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi uchun ham sonlarning ko‘paytmasi singari yozuvdan foydalaniladi.  skalyar ko‘paytma ² bilan belgilanadi. Ravshanki, ²= ².

Vektorlarni skalyar ko‘paytmasi ta’rifidan, har qanday (a₁,a₂), (b₁,b₂), (c₁,c₂) vektorlar uchun

tenglik o‘rinli degan natija chiqadi. Haqiqatan tenglikni chap qismi (a₁+b₁)c₁+(a₂+b₂)c₂ dan, o‘ng qismi esa a₁c₁+a₂c₂+b₁c₁+b₂c₂ dan iborat. Ularni teng ekanligi ravshan.
Noldan farqli vektorlar orasidagi burchak deb BAC burchakka aytiladi. Ixtiyoriy ikkita , vektor orasidagi burchak deb bosh nuqtasi umumiy va o‘zlari shu vektorlarga teng vektorlar orasidagi burchakka aytiladi. Bir xil yo‘nalgan vektorlar orasidagi burchak nolga teng hisoblanadi.
Teorema. Vektorlarning skalyarko‘paytmasi ular modullari bilan ular orasidagi burchak kosinusi ko‘paytmasiga teng(141-rasm):
(2)
bunda  va vektorlar orasidagi burchak. (1) va (2) formulalardan:

yoki


141-rasm.
Teorema. Agar vektorlar perependikulyar bo‘lsa, ularning skalyar ko‘paytmasi nolga teng. Aksincha, noldan farqli vektorlarning skalyar ko‘paytmasi nolga teng bo‘lsa, vektorlar perpendikulyar bo‘ladi.
1-masala: (1, 0) va (1, 1) vektorlar berilgan. SHunday  sonni topingki, + vektor vektorga perpendikulyar bo‘lsin.
Yechish: va + vektorlar perpendikulyar bo‘lgani uchun :
( + )=0 yoki +( )=0.
Bundan:
.
Bu yerda .
2-masala: (1;2) va (1; ) vektorlar orasidagi burchakni toping.
Yechish: (a₁;a₂) va (b₁;b₂) vektorlar berilgan bo‘lsa, ular orasidagi burchak kosinusi quyidagicha topiladi:
bundan
,
Demak, =90⁰
Javob: =90⁰
3-masala: Uchlari A(0; ), B(2; ), C bo‘lgan uchburchakning burchaklarini toping (142-rasm).
Yechish:

142-rasm.
= ; = , = ko‘rinishda belgilab, bu vektorlarning koordinatalarini aniqlaymiz:
(2;0); ; = ;
bundan
;
Demak, B=120⁰;
;
Demak, A=30⁰;
Bulardan C=180⁰-A-B=30⁰;


TESTLAR.

1. nokollinear vektorlar berilgan, bo‘lsa, bilan qanday burchak tashkil etadi?

A) 30⁰ B) 45⁰ C) 90⁰ D) 60⁰ E) 75⁰

2. vektorlar orasidagi burchakni toping.

A) 135⁰ B) 120⁰ C) 45⁰ D) 60⁰ E) 30⁰

3. Agar bo‘lsa, vektorlar orasidagi burchakni toping.

A) 120⁰ B) 130⁰ C) 128⁰ D) 150⁰ E) 135⁰

4. Uchlari A(-2; 3), B(-1; -2) va C(1; 1) nuqtalarda bo‘lgan uchburchakning A va B burchaklarini toping.

A) 45⁰ ; 90⁰ B) 90⁰ ; 45⁰ C) 30⁰ ; 90⁰ D) 45⁰ ;45⁰ E) 90⁰ ; 30⁰

5. Uchlari A(0; 0), C(4; 3) va C(6; 8) nuqtalarda bo‘lgan uchburchakning A burchagini toping.

A) arccos0,9 B) S) D) arccos0,96 E) arccos0,94
6. Agar bo‘lsa, tengsizlik x ning qanday qiymatlarida o‘rinli bo‘ladi.
A) (-1;3) B) (0;2) C) (1;2) D) (-3;1) E) (- ;-1)

7. Agar va vektorlar paralel bo‘lsa, va birlik vektorlar orasidagi burchakni toping.

A) 30⁰ B) 45⁰ C) 60⁰ D) 120⁰ E) 90⁰

8. (0;1) va (2;1) vektorlar berilgan. x ning qanday qiymatlarida vektorga perpendikulyar bo‘ladi.

A) –4 B) –6 C) –7 D) –3 E) –5