|
Agzamxodjaeva M.Sh
8-Mavzu: Vektorlar.
Vektorlar
Reja:
1.Asosiy tushunchalar
2.Vektorlar ustida amallar
3.Amallarning asosiy xossalari
4.Vektorlarning
yo’yilmasi
5.Vektorning proyeksiyalari
6.Koordinata
ko’rinishdagi vektorlar ustida amallar
Asosiy tushunchalar
Matematik miqdor
Skalyar miqdor
(Sonli qiymati
bilan xarakterlanadi
)
Vektor miqdor.
(Sonli qiymati va
yo’nalish
bilan xarakterlanadi
)
Asosiy tushunchalar
•
1
ta’rif.
•
Vektor deb
yo’nalishga va ma’lum uzunlikga
ega
bo’lgan kesmaga aytiladi
.
•
2
ta’rif.
•
Vektorning moduli (vektorning uzunligi) deb
kesmaning uzunligi aytiladi :
a
b
А
В
Belgilanishi:
,...
,
,
AB
b
a
AB
a
Asosiy tushunchalar
•
- vektor, boshi va oxiri ustma-ust tushadigan vektor.
•
3-
ta’rif.
•
Agar vektorlar bir to’g’ri chiziqda yoki parallel to’g’ri chiziqda
yotsalar, ular kollinear vektorlar deyiladi
.
0
0
0
a
b
c
4-
ta’rif.
Ikki vektorni yo’nalishlari ustma-ust
tushishi uchun ulardan birini burish
mumkin bo’lgan burchaklarni eng
Kichigiga ular orasidagi burchak
deyiladi.
a
b
c
a
b
Belgilanishi:
Asosiy tushunchalar
•
5-
ta’rif.
•
Agar ikkita vektor bir xil yo’nalishga va bir xil uzunlikka ega bo’lsa,
ular teng vektorlar deb ataladi.
•
Natija.
•
Vektor va uni parellel ko’rishdan hosil bo’lgan vektor tengdir.
a
b
b
a
Asosiy tushunchalar
6-
ta’rif.
Agar ikkita vektor kolleniar, bir xil uzunlika ega va
qarama
– qarshi yo’nalishda bo’lsa, ular qarama – qarshi
vektorlar deb ataladi
7-
ta’rif.
Agar vektorlar bitta tekislikda yoki parallel
tekislikda yotsalar, ular komplanar
vektorlar deb ataladi.
Eslatma. Ikkita vektor har doim komplanar.
a
a
b
a
b
b
a
c
Vektorlar ustida amallar
Vektorlarning_yig’indisi._1-_ta’rif_(uchburchak_qoidasi).'>Vektorlarning
yig’indisi.
1-
ta’rif (uchburchak qoidasi).
Agar bir vektorning boshi ikkinchi vektorning oxiri bilan
ustma
–ust tushsa, u holda ikkinchi vektorning boshi bilan birinchi
vektorning oxirini tutashtiruvchi vektorga birinchi va ikkinchi
vektorlarning
yig’indisi deyiladi.
a
b
b
a
Vektorlar ustida amallar
Vektorlarning
yig’indisi.
2-
ta’rif (parallelogram qoidasi).
Agar birinchi va ikkinchi vektorlarning boshlanishi ustma-ust tushib,
ulardan parallelogram yasash mumkin
bo’lsa, u holda umumiy boshdan
o’tuvchi dioganal vektorga bu vektorlarning yig’indisi deb ataladi.
a
b
b
a
Vektorlar ustida amallar
Vektorlarning ayirmasi.
1-
ta’rif.
vektorlarning ayirmasi deb, shunday
tenglik
bajariladigan
vektorga aytiladi.
2-
ta’rif.
Agar birinchi va ikkinchi vektorlarning
boshlari ustma-ust tushsa u holda bu
vektorlarning ayirmasi deb ularning oxirlarini
tutashtiruvchi va
yo’nalishi ayiruvchi vektorning oxiridan kamayuvchi vektorning oxiriga
yo’nalgan vektorga aytiladi
b
a
c
a
c
b
a
b
b
a
c
Vektorlar ustida amallar
Ta’rif.'>Vektorning songa
ko’paytmasi.
Ta’rif.
vektorning
songa
ko’paytmasi deb,
vektorga kollinear, modul
bo’yicha
teng,
bo’lganda yo’nalishi
vektor kabi,
bo’lganda yonalishi
vektorga qarama-qarshi
bo’lgan
vektorga aytiladi
a
a
a
a
a
0
a
0
a
Vektorlar ustida amallar
Misol.
vektor berilgan. Quyidagi vektorlarni yasang:
Yasash:
Teorema.
bo’lsin.
va
vektorlar kollinear
bo’ladi faqat va
faqat, shunday
o’zgarmas son topilib, bo’lsa
a
.
2
1
,
2
1
,
2
a
a
a
a
a
a
a
2
a
2
1
a
2
1
0
a
a
b
a
b
a
b
a
b
Amallarning asosiy xossalari
• 1.
• 2.
• 3.
• 4.
• 5.
• 6.
•
Xar bir xossa mustaqil isbotlansin..
a
b
b
a
0
)
(
a
a
)
(
)
(
c
b
a
c
b
a
b
a
b
a
)
(
a
a
a
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
a
a
Vektorlarning yo’yilmasi
1-teorema.
va vektorlar nokollenear
komplanar vektorlar bo’lsin.
U holda shunday va topiladiki,
Bunday yoyilma yagonadir.
Isbot.
a
b
c
b
a
,
,
b
a
c
a
b
c
p
q
q
p
c
a
p
b
q
b
a
c
Vektorlarning
yo’yilmasi
Vektorlarning ortlar bo’yicha yoyilmasi.
1-
ta’rif.
vektorning orti deb uzunligi birga yo’nalishi
vektor yo’nalisi kabi bo’lgan
vektorga aytiladi.
o
a
a
a
a
o
a
Vektorlarning
yo’yilmasi
To’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini qaraymiz.
•
3-teorema.
Fazoda ixtiyoriy
vektorni ortonormal
bazislar
bo’yicha yoyish mumkin
:
Bunday yoyilma yagonadir.
x
y
z
0
i
k
j
-
x, y, z oqlar yo’nalishi
bo’yicha
birlik vektorlar (ortlar).
k
j
i
,
,
2-
ta’rif.
vektorlar uchligiga fazoda
ortonormallangan bazis deb ataladi.
)
,
,
(
k
j
i
d
)
,
,
(
k
j
i
k
z
j
y
i
x
d
Vektorning proyeksiyalari
•
vektorni va
o’qni qaraymiz .
•
Ta’rif.
•
vektorning
o’qga proyeksiyasi deb, shu o’qdagi
•
vektorning oxiri va
vektornig boshini proyeksiyalarini
ayirmasiga aytiladi;
2
1
M
M
0
1
x
2
x
1
M
2
M
2
1
M
M
1
M
2
M
1
2
2
1
Pr
x
x
M
M
Vektorning proyeksiyalari
•
Proyeksiyaning xossalari.
•
1.
•
2.
•
3.
•
4.
Vektor koordinatalari va
o’qlardagi proyeksiyalari orasidagi bog’lanish
.
•
vektorning tekislikdagi yoyilmasi quyidagicha
:
b
a
b
a
Pr
Pr
)
(
Pr
a
a
Pr
)
(
Pr
burchak
orasidagi
va
a
yerda
bu
a
a
,
cos
Pr
a
d
х
у
0
i
j
p
q
d
j
y
i
x
d
j
d
i
d
q
p
d
у
х
Pr
Pr
d
x
х
Pr
d
y
у
Pr
Vektorning proyeksiyalari
Fazoda:
Natija.
Agar
vektor ikkita nuqta bilan berilgan,
ya’ni
- boshi, - oxiri,
bo’lsa,
u holda
d
d
d
z
y
x
d
z
у
х
Pr
,
Pr
,
Pr
,
,
2
1
M
M
)
,
,
(
1
1
1
1
z
y
x
M
)
,
,
(
2
2
2
2
z
y
x
M
1
2
1
2
1
2
2
1
,
,
z
z
y
y
x
x
M
M
Koordinata ko’rinishdagi vektorlar
ustida amallar
•
Vektorlarni yig’indisi va ayirmasi,
•
vektorni songa ko’paytmasi.
•
bo’lsa, u holda
•
1.
•
2.
Vektor moduli
Vektor orti
а
2
2
2
1
1
1
,
,
,
,
z
y
x
b
va
z
y
x
a
2
1
2
1
2
1
,
,
z
z
y
y
x
x
b
a
1
1
1
,
,
z
y
x
a
2
1
2
1
2
1
z
y
x
a
a
z
a
y
a
x
a
o
1
1
1
,
,
Koordinata ko’rinishdagi vektorlar
ustida amallar
Koordinata ko’rinishda berilgan vektorlarning kollinearligini zaruriy va
yetarli shartlari.
Ikkita nol bo’lmagan vektorlar kollinear deyiladi,
faqat va faqat qachonki mos koordinatalari
proporsional bo’lsa.
bo’lsa, u holda
Isbot.
2
2
2
1
1
1
,
,
,
,
z
y
x
b
и
z
y
x
a
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
b
a
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
Do'stlaringiz bilan baham: |
