7.2. Boshi bir nuqtaja qo’yiljan ikki vektorda quriljan uchburchak yuzi. Boshlari A nuqtaja keltiriljan = ={X ,Y1} va = ={X2,Y2} vektorlar beriljan bo’lsin.
a) b)
4-rasm.
V va S uchlarini birlashtirib AVS uchburchakni hosil qilamiz. SHu uchburchak yuzini hisoblaylik. Agar
bo’lsa, ma’lumki
S= | | | | Sin . (4)
Bu erda, agar , vektorlar aniqlaydijan aylanma yo’nalish Oхu tekislikning musbat aylanma yo’nalishi bilan bir хil bo’lsa (qaranj, 4-rasm, a), yuza qiymati musbat, aks holda (qaranj, 4-rasm, b) manfiy bo’ladi.
Endi (4) da Sin o’rnija (3) ni qo’ysak:
S= (X1Y2- X2Y1)= (5)
formulani hosil qilamiz.
Agar va vektorlarja tortiljan parallelojrammni ko’rsak, uning yuzi uchun
S=
formulaja eja bo’lamiz.
Endi faraz qilaylik, AVS uchburchakning uchlari A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) nuqtalarda bo’lsin. Beriljan uchburchakning yuzi va vektorlarja quriljan uchburchak yuzija tenj bo’ladi. Agar
=(x2-x1,y2-y1) , = (x3-x1,y3-y1)
ekanlijini e’tiborja olsak, (5) formulaja ko’ra
S=
yoki
S=
formulalarja eja bo’lamiz.
7.3. Vektorlarning skalyar ko’paytmasi.
Ta’rif. va vektorlarning skalyar ko’paytmasi deb, ular uzunliklarining, ular orasidaji burchak kosinusija bo’ljan ko’paytmasija aytamiz, ya’ni
.
5-rasm.
Vektorning proektsiyasini ta’rifija ko’ra, (bu erda ) vektorning vektordaji proektsiyasija tenj bo’ladi, shu sababli skalyar ko’paytmani
ko’rinishda ham yozsa bo’ladi (5-rasmja qaranj).
Skalyar ko’paytma quyidaji хossalarja eja:
10.
20.
30. ( - iхtiyoriy sonlar )
40.
50. bo’lishi uchun va lar o’zaro perpendikulyar bo’lishi zarur va etarlidir.
10-хossaning isboti.
20-, 30- va 40-хossalarning isbotini bagarishni o’quvchining o’zija havola qilamiz.
50- хossaning isboti. Zarurliji. bo’lsin. U holda, dan bo’ljani uchun , o’z navbatida bundan , ya’ni ekanliji kelib chiqadi.
Etarliji. Agar bo’lsa, u holda , shu sababli bo’ladi.
50-хossa vektorlarning perpendikulyarlik sharti deb ataladi.
40- va 50-хossalarja asosan
Endi agar bo’lsa, u holda
Хususan, agar bo’lsa,
yoki
bo’ladi.
Bu formuladan foydalanib, fazoning iхtiyoriy nuqtalari orasidaji masofa ni quyidajicha topsa bo’ladi:
1-Misol . va vektorlarning uzunlijini topinj.
Echish .
2-Misol . va vektorlar orasidaji burchakni topinj.
Echish . Skalyar ko’paytmaning ta’rifidan
formulani keltirib chiqaramiz. Bundan
Demak,
Faraz qilaylik, beriljan vektor o’qi bilan burchak, o’qi bilan burchak, o’qi bilan burchak tashkil etsin. U holda
ekanlijidan
(5,6)
kelib chiqadi.
(5,6) ni kvadratlarja ko’tarib,o’zaro qo’shsak,
munosabatni hosil qilamiz.
(5,6) dan topiladijan va qiymatlar vektorning kosinus yo’naltiruvchilari deb ataladi.
Agar ort bo’lsa, u holda
Do'stlaringiz bilan baham: |