Vektorlar. Asosiy tushunchalar. Vektor ustida chiziqli amallar. Chiziqli bog’liq va chiziqli erkli vektorlar tizimi. Bazis. Vektorni chiziqli ortogonal vektorlar sistemasi bo’yicha yoyilmasi. Reja

2. Vektorlarning chiziqli bog’liqligi.
₁, ₂,… _n vektorlar hamda ₁, ₂,… _n, haqiqiy sonlar berilgan bo’lsin. Ular hosil qilingan _{1 1}, _{2 2},… _{n n}, ifoda ₁, ₂,… _n vektorlarning ₁, ₂,… _n, koeffitsientli chiziqli kombinatsiyasi deyiladi. Agar biror vektor ₁, ₂,… _n vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi shaklida ifodalangan bo’lsa, vektor shu vektorlar bo’yicha yoyilgan deyiladi, ya’ni quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi.
= _{1 1}+ _{2 2} + _{n n} (1)
7-ta’rif: _{Agar kamida bittasi noldan farqli 1, 2 ,… n sonlar tanlab olinganda
1 1+ 2 2+…+ n n = 0 (2)
tenglik bajarilsa, u holda 1, 2,… n vektorlar chiziqli bog’liq deyiladi.}
8-ta’rif: _{Agar (2) munosabat faqat 1= 2=…= n= 0 bo’lgandagina o’rinli bo’lsa, u holda 1, 2,… n vektorlar chiziqli bo’lmagan yoki chiziqli erkli deb ataladi.}
Tekislikdagi xar qanday ikkita vektorning chiziqli bog’liq bo’lishi uchun ularning kollinear vektorlar bo’lishi zarur va kifoya. Fazodagi har qanday uchta vektorning chiziqli bog’liq bo’lishi uchun, ularning komplanar vektorlar bo’lishi shart.
Tekislikdagi har qanday ikkita vektorning va fazodagi har qanday uchta vektorning chiziqli bog’liqsiz vektorlar bo’lishi uchun ularning mos ravishda kollinear va komplanar vektorlar bo’lmasliklari zarur va kifoya.
_{Chiziqli bog’liq vektorlar uchun quyidagi teoremalar o’rinli bo’ladi.
1-TEOREMA. Agar 1, 2,… n vektorlar sistemasining bir vektori nol vektor bo’lsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq bo’ladi.
ISBOT. k=0 bo’lsin, u holda k} 0, _{1 = 2 =…= k-1= k+1= n sonlar uchun (2) munosabat o’rinli bo’ladi. Demak, 1, 2,… n vektorlar chiziqli bog’liq bo’ladi.
2-TEOREMA. Ikkita vektor chiziqli bog’liq bo’lishi uchun ularning kollinear bo’lishi zarur va yetarli.
3-TEOREMA. Uch vektor chiziqli bog’liq bo’lishi uchun ularning komplanar bo’lishi zarur va yetarli.}