Vektorlar algebrasi

To’lqin tenglamalari. Bu ma’ruzada bo’shliqda elektromagnit maydon bilan tanishib chiqamiz. Bunda zaryad zichligi tok zichligi j = 0 bo’lganligi uchun Maksvell-Lorentz tenglamalari quyidagi ko’rinishni oladi:

rot E = - , (1)

div H = 0 , (2)

rot H = , (3)

div E = 0. (4)

Bu tenglamalarning notrivial (noldan farqli) yechimi bizni qiziqtiradi. Agar bunday maydon mavjud bo’lsa, u qanday xossalarga ega bo’ladi? Vakuumda elektromagnit maydon o’zgarmas, deb faraz qilamiz, ya’ni

= 0 u vaqtda (1) – (4) tenglamalardan ko’ramizki

rot E = 0 , div E = 0, rot H = 0, div H = 0 bo’ladi. Ma’lumki, birorta vektor maydonning rotori va divergensiyasi nolga teng bo’lsa, u aynan nolga teng bo’ladi. Demak, E = 0 va H = 0. Shunday qilib, vakuumda vaqtga bog’liq bo’lmagan maydon mavjud bo’lmas ekan. Vakuumda elektromagnit maydon mavjud bo’lishi uchun u albatta, vaqtga bog’liq bo’lishi kerak. Elektr va magnit maydon kuchlanganliklari uchun o’zaro bog’liq bo’lmagan tenglamalarni hosil qilamiz. Buning uchun (1) tenglamaning har ikkala tomoniga rotor operatori bilan ta’sir qilamiz va (3) tenglamadan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz: = 0. (5) Xuddi shu yo’l bilan E uchun quyidagi tenglamani yozamiz: = 0. (6) Bu tenglamalar bizga ma’lum bo’lgan to’lqin tenglamalaridir. Zaryad va tok zichligi nolga tengligini inobatga olsak, potensiallar uchun olingan = - j , (7) = - 4 (8)Dalamber tenglamalari quyidagi ko’rinishni oladi: = 0 , (9)

= 0 (10)

Bu yerda potensiallar Lorentz sharti div A + = 0 (11)ni qanoatlantiradi. Shunday qilib, vakuumda elektromagnit maydon kuchlanganliklari va potensiallar to’lqin tenglamasi bilan aniqlanishini topdik. Bu tenglamalarning yechimlari to’lqindan iborat bo’lganligi uchun vakuumda elektromagnit maydon ham to’lqindan iborat bo’ladi. Agar E, H, A vektorlarning dekart koordinata o’qlariga tashkil etuvchilaridan ixtiyoriy birini yoki skalyar potensial ni f bilan belgilasak, ular uchun to’lqin tenglamasini umumiy ko’rinishda quyidagicha yozish mumkin: