Vektor va aralash ko’paytmalari. Chiziqli va vektor algebrasi nazariyasini texnik masalarga tadbiqlari

VEKTOR VA ARALASH KO’PAYTMALARI. CHIZIQLI VA VEKTOR ALGEBRASI NAZARIYASINI TEXNIK MASALARGA TADBIQLARI.


vektorlarning aralash ko’paytmasi deb dastlabki ikkita vektorlarning vektorial ko’paytmasini uchinchi vektorga skalyar ko’paytmasi kabi aniqlanadigan songa aytiladi.
larning aralash ko’paytmasi kabi belgilanadi. Demak, aralash ko’paytma geometrik jihatdan vektorlar asosida qurilgan parallelopipedning hajmini bildiradi.
Ya’ni .
Aralash ko’paytma quyidagi xossalarga ega:
1. ( ) .
2. Aralash ko’paytmada ko’paytuvchilar o’rni soat miliga teskari yo’nalish bo’yicha doiraviy ravishda almashtirilsa, uning qiymati o’zgarmasdan qoladi. Ya’ni
.
3. Agar ko’paytmada yonma-yon turgan vektorlarning o’rni almashtirilsa, uning ishorasi qarama-qarshisiga o’zgaradi. Ya’ni

Aralash ko’paytma quyidagi hollarda nolga teng bo’ladi:
1) Ko’paytuvchi vektorlardan kamida bittasi nol vector;
2) Ko’paytuvchi vektorlardan kamida ikkitasi kollinear;
3) Ko’paytuvchi vektorlar komplanar bo’lsa.
Agar va vektorlar o’zlarining koordinatalari bilan berilgan bo’lsa, u holda aralash ko’paytmani determinant orqali quyidagicha yozish mumkin.

ga uch vektorning komplanarlik sharti deyiladi
Fazoda berilgan to’rta nuqtalarning bir tekkislikkda yotish sharti
dan iborat.
Koordinatalari bilan berilgan vektorlar asosida yasalgan piramidaning hajmi
V formuladan topiladi.
Agar va vektorlar o’zaro komplanar bo’lsa, va aksincha, so’nggi tenglik bajarilsa, berilgan uch vektor o’zaro komplanar bo’ladi. Bundan tashqari, va orasida ko’rinishidagi chiziqli bog’lanish mavjud bo’ladi.

1. va vektorlar m parametrning qanday qiymatlarida komplanar bo’lishini toping.

_{Yechish: Bizda }
  Bularni uch vektorning komplanarlik shartiga qo’yamiz:

2. va va vektorlardan yasalgan parallelepipedning hajmini toping.
Yechish: Parallelepipedning hajmini topish formulasidan foydalanamiz:
.
3. va nuqtalar m parametrning qanday qiymatlarida bir tekislikda yotishini aniqlang.
Yechish: Koordinatalari bilan berilgan to’rtta nuqtaning bir tekislikda yotish shartidan foydalanamiz:


Demak, yoki bo’lganda, yuqoridagi to’rtta nuqta bir tekislikda yotadi.
4. Fazoda to’rtta va nuqta- lar berilgan. Uchlari shu nuqtalarda bo’lgan piramidaning hajmini toping.
Yechish: piramidaning hajmi va vektorlar asosida yasalgan parallelepiped hajmining oltidan bir qismiga, ya’ni
ga teng. Demak, biz dastlab va vektorlarning koordinatalarini topishimiz kerak.




1. 2 vektorlarda parallelepiped yasalsin hamda uning hajmi hisoblansin.
Javob: .
2. Uchlari va nuqtalarda bo’lgan piramida yasalsin hamda uning hajmi, yog’ining yuzi va shu yoqqa tushirilgan balandligi hisoblansin.
Javob: ;
va nuqtalarni bir tekislikda yotishi ko’rsatilsin.
4. =-3 vektorlar ning o’zaro komplanar ekanligi ko’rsatilsin.
5.
2) ( 2 ekanligi isbotlansin.
6. Uchlari va nuqtalarda bo’lgan piramida yasalsin hamda uning hajmi va yog’iga tushirilgan balandligi hisoblansin.
Javob: ;
7.  va vektorlar yasalsin va ular o’zaro komplanar ekanligi ko’rsatilsin.
8. Uzunliklari 2 ga teng bo’lgan va koordinatalar burchaklarining bissektrisalari bo’yicha yo’nalgan va vektorlarda yasalgan tetraedrning hajmi topilsin.