Vazirligi urganch davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O`RTA MAXSUS TA`LIM  

VAZIRLIGI URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI 

FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI 

          

 

                                                

 

               301 – amaliy  matematika  va  informatika 

 

guruh  talabasi  

                       Davlatov Ruslanning

  

Hisoblash usullari fanidan

                   

Referat 

Mavzu:  Musbat aniqlangan simmetrik matrisaning xos  qiymatlari va xos 

vektorlarini topish. 

 

Topshirdi:                                          Davlatov R. 

Qabul qildi:                                        Salayev S. 

 

 

                                                               

                                                                         

                                                Urganch-2015 

                                     

Reja: 

I.Kirish. 

II.Asosiy qism. 

   1)  Matritsalar haqida umumiy tushunchalar. 

   2)  Musbat aniqlangan simmetrik matrisa. 

   3)  Zeydel  metodi. 

III.Xulosa. 

I

I

V

V

.

.

F

F

o

o

y

y

d

d

a

a

l

l

a

a

n

n

i

i

l

l

g

g

a

a

n

n

 

 

a

a

d

d

a

a

b

b

i

i

y

y

o

o

t

t

l

l

a

a

r

r

.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

       

         

 

Kirish. 

         Sistemalarni  modellashtirishda  matritsalar  algebrasi  degan  tushuncha 

muhim  ahamiyatga  ega.  Rejalashtirish  muammolari,  yalpi  mahsulot,  jami  mehnat 

sarfi,  narxni  aniqlash  va  boshqa  masalalar  hamda  ularda  kompyuterlarni  qo„llash 

matritsalar  algebrasini  qarashga  olib  keladi.  Ishlab  chiqarishni  rejalashtirish, 

moddiy  ishlab  chiqarish  orasidagi  mavjud  bog‟lanishlarni  ifodalashda  va 

boshqalarda,  ma`lum  darajada  tartiblangan  axborotlar  sistemasiga  asoslangan 

bo„lishi lozim. Bu tartiblangan axborotlar sistemasi muayyan jadvallar ko„rinishida 

ifodalangan  bo„ladi.  Misol  o„rnida  moddiy  ishlab  chiqarish  tarmoqlari  orasidagi 

o„zaro  bog‟liqlik  axborotlari  sistemasini  qaraylik.  Ishlab  chiqarish  5  ta  (masalan, 

mashinasozlik,  elektroenergiya,  metal,  ko„mir,  rezina  ishlab  chiqarish  sanoatlari) 

tarmoqdan  iborat  bo„lsin.  Bunda  ular  orasidagi  o„zaro  bog‟liqlik  1-jadval  bilan 

ifodalansin.  

Tarmoq-

lar 

1 

2 

3 

4 

5 

1 

11

a

 

12

a

 

13

a

 

14

a

 

15

a

 

2 

21

a

 

22

a

 

23

a

 

24

a

 

25

a

 

3 

31

a

 

32

a

 

33

a

 

34

a

 

35

a

 

4 

41

a

 

42

a

 

43

a

 

44

a

 

45

a

 

5 

51

a

 

52

a

 

53

a

 

54

a

 

55

a

 

                                            1-jadval. 

           Bu  jadvalda   

)

5

,

4

,

3

,

2

,

1

,

(



j

i

a

ij

  lar  bilan,   

i

-tarmoqning      j-  tarmoqqa 

yetkazib  beradigan  (ta`minlaydigan)  mahsuloti  miqdori  belgilangan,  chunonki,  

21

a

, 

22

a

,  ..., 

25

a

  lar    2-tarmoqning  mos  ravishda  hamma  tarmoqlarga;               

31

a

, 

32

a

, ..., 

35

a

 

lar esa 3-tarmoqning mos ravishda hamma tarmoqlarga yetkazib 

beradigan  mahsulotlari  miqdorini  bildiradi.   

22

a

, 

33

a

    lar  mos  ravishda              

2,3-tarmoqlarning  o„z  ehtiyojlariga  sarfini  ifodalaydi.    Yuqoridagiga  o„xshash 

ishlab  chiqarish  mezoni  (normasi)  axborotlari  sistemasiga  sonli  misol  qaraylik. 

Korxona  3  turdagi  xom  ashyo  ishlatib  4  xildagi  mahsulot  ishlab  chiqaradigan 

bo„lsin, bunda xom ashyo sarfi normasi sistemasi 2-jadval bilan berilgan bo„lsin. 

2-jadval. 

Xom 

Mahsulotlar 

ashyolar 

1 

2 

3 

4 

1 

2 

3 

2 

0 

2 

4 

0 

3 

5 

3 

3 

5 

2 

4 

 

2-jadvalda  masalan,  1-turdagi  xom  ashyo  sarfi  normasi  mos  ravishda           

1,2,3,4-xildagi 

mahsulotlar 

ishlab 

chiqarish 

uchun 

2,3,2,0 

bo„ladi.                          

1  va  2  jadvallar,  matematikada  o„rganiladigan  matritsalar    tushunchasining 

misollari  bo„la  oladi.  Matritsalar  iqtisodiy  izlanishlarda  keng  qo„llanilmoqda, 

Hususan,  ulardan  foydalanish  ishlab  chiqarishni  rejalashtirishni  osonlashtirib, 

mehnat  sarfini  kamaytiradi,  hamda  rejaning  har  xil  variantlarini  tuzishni 

ixchamlashtiradi.  Bundan  tashqari  har  xil  iqtisodiy  ko„rsatkichlar  orasidagi 

bog‟liqlikni  tekshirishni  osonlashtiradi.  Bu  holatlar  matritsalarni  umumiy  holda 

qarashga olib keladi. 

 

 

                    

 

Asosiy qism. 

1.Matritsalar haqida umumiy tushunchalar. 

        1-ta`rif:   

m

 ta satrli va 

n

  ta ustunli to„g‟ri burchakli 

n

m



  ta elementdan 

tuzilgan jadval 

                                 











































mn

m

m

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A







2

1

2

22

21

1

12

11

 

 

  

 

n

m



 

o‘lchamli 

matritsa 

deyiladi. 

A  

matritsani 

qisqacha 

)

,...,

1

,

,...,

1

(

)

(

n

j

m

i

a

ij





    bilan  ham  belgilash    mumkin.  Matritsalarda  satrlar 

soni ustunlar soniga teng bo„lsa, bunday matritsalar kvadrat matritsa deb ataladi.   

Har  bir 

n

  tartibli  kvadrat  matritsa  uchun  uning  elementlaridan  tuzilgan 

determinantini  hisoblash  mumkin,  aytaylik,  birorta  a,  b,  c,  d    sonlar  berilgan 

bo„lsin. Ushbu   

 

ifoda  2-tartibli determinant, ad-bc  ayirma esa uning qiymati deyiladi.  

0

det



A

  

bo„lsa,   

A

 matritsaga  maxsus matritsa, 

0

det



A

  bo„lsa, maxsusmas matritsa 

deyiladi.  Kvadrat  matritsaning 

nn

a

a

a

,

,

,

22

11



    elementlar  joylashgan  diagonali 

bosh diagonal,   elementlari  joylashgan diagonali yordamchi diagonal deyiladi. 

Bosh  diagonaldagi  elementlar  0  dan  farqli  boshqa  barcha  elementlari  0  ga  teng 

kvadrat matritsa diagonal matritsa  deyiladi.  Masalan, 

                             































1

0

0

0

0

2

0

0

0

0

3

0

0

0

0

5

A

 

matritsa diagonal matritsadir.  Diagonaldagi barcha elementlari 1 ga teng diagonal 

matritsa birlik matritsa deyiladi va  

                                     



























1

0

0

0

1

0

0

0

1













E

 

bilan  belgilanadi.  Faqat  bitta  satrdan  iborat 





14

13

12

11

a

a

a

a

    matritsaga  satr 

matritsa deyiladi. Faqat bitta ustunga ega 

 

























41

31

21

11

a

a

a

a

             matritsaga ustun matritsa deb ataladi. 

Barcha elementlari 0 lardan iborat bo„lgan matritsaga nol matritsa deyiladi va  

O

 

bilan belgilanadi. Agar biror noldan farqli  

x

 vektor uchun 

                                                      

x

Ax





 

tenglik  bajarilsa,  u  holda   



  son  A  kvadrat  matritsaning  xos  soni  deyiladi.  Bu 

tenglikni qanoatlantiradigan noldan farqli 

x

 vektor  A  matritsaning 



 xos soniga 

mos keladigan xos vektori deyiladi. 

 

0

)

det(

1

2

1

2

1

2

22

21

1

1

1

12

11

































nn

nn

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

D

















.        

 (1) 

tenglama A  matritsaning xarakteristik tenglamasi deyiladi. 

)

...

(

)

1

(

)

det(

1

1

n

n

n

n

p

p

A























                             (2) 

ko„phad A matritsaning xos yoki xarakteristik ko‘phadi deyiladi. 

2.Musbat aniqlangan simmetrik matrisa.                    

2-ta’rif: A



[a

ki

],  i,k



1,2,...,n kvadratik matritsaning elementlari bosh  dioganalga 

nisbatan simmetrik joylashgan bo„lsa,  ya‟ni a

ki

 



 a

ik

 bo„lsa, u simmetrik matritsa 

deyiladi.  Simmetrik  matritsa  uchun      A

T

 



A  tenglik  o„rinli.  Agar  A  matritsa 

simmetrik, ya‟ni a

ki

 



 a

ik 

 bo„lsa,   

 



















n

k

m

i

i

x

k

x

ki

a

n

x

n

x

n

a

x

x

a

n

x

nn

a

x

a

AX

T

X

1

1

2

2

1

12

2

2

2

1

11





, 

oddiy  kvadratik  forma  xosil  bo„ladi.  Agar 

Ax  kvadratik  forma  musbat 

aniqlangan  bo„lsa,  u  xolda  soddalik  uchun  A  matritsa  musbat    aniqlangan 

deyiladi.                                                                                                             

3-tarif:   

k

i

ik

n

k

i

Т

x

x

a

Ax

x







1

,

  haqiqiy    kvadratik    forma  musbat  aniqlangan  

(manfiy  aniqlangan)  deyiladi,  agarda  o‟zgaruvchilarning    ixtiyoriy    noldan  farqli  

(x≠0) qiymatlarida   

                                     

0



Ax

x

Т

    

)

0

(



Ax

x

Т

               (3)                 

bo‟lsa, bu holda    A  matritsa  musbat  aniqlangan (manfiy aniqlangan)  deyiladi. 

Musbat   aniqlangan  (manfiy aniqlangan)  formalar sinfi  manfiymas (musbatmas) 

formalar sinfining  qismi bo‟ladi. 

Manfiymas  kvadratik forma o‟zaro  bog‟liqmas  kvadratlar yig‟indisi  ko‟rinishida 

quyidagicha ifodalangan bo‟lsin. 

                                          

i

i

r

i

Т

X

a

Ax

x







1

                                               (4) 

(4) da  barcha kvadratlar  musbat  bo‟lishi kerak,  ya‟ni  

                                        

r

i

a

i

,...,

2

,

1

,

0





                                      (5) 

Haqiqatdan,  agar  birorta   

0



i

a

  bo‟lsa,   

n

x

x

x

,...

,

2

1

  larning  shunday 

qiymatlarini  tanlashimiz mumkinki,  unda 

                 

0

,

0

...

...

,

1

1

1



















i

r

i

i

X

X

X

X

X

 

bo‟lib, 

Ax

x

Т

  manfiy  bo‟lib  qoladi. Aksincha,  (4)  va  (5) dan  

Ax

x

Т

 formaning  

musbatligi  kelib chiqadi.                                                                     

     Shunday  qilib,  manfiymas  kvadratik    formalar 

r





     





0

,









r

       

tengliklar  bilan harakterlanadi. 

     Agar  



Ax

x

Т

 musbat  aniqlangan  bo‟lsa,  u holda u manfiymas  forma  ham  

bo‟lib,  (4)  va  (5)  shartlar  bajariladi.  Kvadratik    formaning  musbat 

aniqlanganligidan  r=n ekanligi kelib chiqadi.  Haqiqatdan, agar r

                 

                                

 

o‟zgaruvchilarni  bir vaqtda nolga teng  bo‟lmagan  qiymatlarini  tanlash mumkin 

bo‟ladiki,  unda barcha    lar nolga teng bo‟lib,  

0



Ax

x

Т

 bo‟ladi. Bu (3)  shartga 

ziddir.  Aksincha,  agar  (4)  da  r=n  bo‟lib,  (5)    bajarilsa,   

Ax

x

Т

  forma    musbat 

aniqlangan bo‟ladi. 

        Boshqacha aytganda,  manfiymas kvadratik forma  faqat  va faqat  singulyar 

bo‟lmagandagina  musbat aniqlangan bo‟ladi. 

     Teorema-1:  kvadratik forma musbat aniqlangan bo‟lishi uchun   

                 

,

0

11

1





a

D

 

0

,...,

0

22

12

12

11

2









A

D

a

a

a

a

D

n

                        (6) 

tengsizliklarni   bajarilishi  zarur  va  yetarlidir. 

       Isboti.    (6)    shartlarni    yetarli  ekanligi   

k

k

k

r

k

Т

D

D

Y

Ax

x

1

1









  Yakobi 

formulalaridan kelib chiqadi.  (6) shartlarni zarurligini  quyidagicha ko‟rsatamiz.  

n

 

1

 

x

 

x

 

x

 

,...,

 

,

 

2

 

Ax

x

Т

  formaning    musbat    aniqlanganligidan    kelib  chiqadiki,  quyidagi  qirqib 

olingan  

                         

,

1

,

k

i

ik

p

k

i

p

Т

x

x

a

x

A

x







 (p=1,2,…,n) 

forma ham musbat aniqlangan bo‟ladi. Ammo, bu holda barcha formalar  singulyar 

bo‟lmasligi, ya‟ni  

                                

0





p

p

A

D

  (p=1,2,…,n) 

bo‟lishi  kerak. 

Endi biz Yakobining  formulalarini  (r=n) da qo‟llash imkoniyatiga ega bo‟lamiz. 

Bu  formulalarning  o‟ng  tomonidagi  barcha  kvadratlar  musbat  bo‟lishi  kerak,  u  

holda   

                         

0

,...,

0

,

0

1

2

1

1









n

n

D

D

D

D

D

 

Bundan (4) shartlarning zarurligi kelib chiqadi.